[論文レビュー] Cofree compositions of coalgebras (extended abstract)

Stefan Forcey, Aaron Lauve+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、階数付き余代数の関手的合成構成を導入し、2つの余自由な余代数の合成が再び余自由であることを証明する。特に、一方の成分が階数付きホップ作用素であり、他方がそれへ写像する場合に、合成が片側ホップ代数をなす十分条件を確立する。これにより、マルチプリヘドロン、コンポジヒドロン、ハイパーキューブといった組合せ的対象に新たなホップ構造が得られ、単体のホップ代数が余代数として余自由であることを示す明示的同型が得られる。

ABSTRACT

We develop the notion of the composition of two coalgebras, which arises naturally in higher category theory and the theory of species. We prove that the composition of two cofree coalgebras is cofree and give conditions which imply that the composition is a one-sided Hopf algebra. These conditions hold when one coalgebra is a graded Hopf operad D and the other is a connected graded coalgebra with coalgebra map to D. We conclude by discussing these structures for compositions with bases the vertices of multiplihedra, composihedra, and hypercubes.

研究の動機と目的

• 階数付き余代数の合成作用素を定義し、高次圏論および系列理論における構成を一般化すること。
• 2つの余自由な余代数の合成が再び余自由であることを証明し、木や置換のホップ代数に関する既知の結果を拡張すること。
• 合成が片側ホップ代数をなす十分条件を特定すること、特に一方の因子が階数付きホップ作用素である場合に注目すること。
• マルチプリヘドロン、コンポジヒドロン、ハイパーキューブといった幾何的・組合せ的対象にこの構成を適用し、代数的構造と多面体の頂点を結びつけること。
• フォースィとスプリンガーフィールド（2010）が定義した単体の片側ホップ代数が、余代数として余自由であることを、余自由な余代数の合成との明示的同型により示すこと。

提案手法

• 論文は、階数付き余代数 $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ に対して、作用素-モジュール構造を一般化する合成関手 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ を定義する。
• もし $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ が両方とも余自由であれば、$\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ も余自由であることを証明し、テンソル代数上の再結合余積を用いる。
• $\mathcal{D}$ が階数付きホップ作用素であり、$\mathcal{C}$ が $\mathcal{D}$ へ余代数写像を備えるならば、$\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ は片側ホップ代数であることを確立し、連結階数付きバイ代数に関するタケウチの定理を用いる。
• 単体のホップ代数と合成 $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ 間の明示的同型を構成し、$[n]$ の部分集合と $n+1$ の合成との間の全単射を用いる。
• 重み付き木表現とグラフト構成を用いて、合成代数における余積と積をモデル化し、分割が再結合に対応することを示す。
• $\bm{\varphi}$ の同型が余代数構造を保存し、代数積を反転させることにより、片側代数の反同型であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの余自由な余代数の合成が再び余自由であるのはどのような条件下か？
• RQ2 2つの階数付き余代数の合成 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ が片側ホップ代数構造を有するのはいつか？
• RQ3 この合成構成は、マルチプリヘドロンやコンポジヒドロンの頂点といった多面体的組合せ論にどのように適用できるか？
• RQ4 フォースィとスプリンガーフィールド（2010）が定義した単体の片側ホップ代数は、余代数として余自由か？
• RQ5 単体のホップ代数と余自由な余代数の合成との間の正確な代数的関係は何か？

主な発見

• 2つの余自由な余代数の合成 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ は余自由であり、木や置換のホップ代数に関する既知の結果を一般化する。
• $\mathcal{D}$ が階数付きホップ作用素であり、$\mathcal{C}$ が $\mathcal{D}$ へ余代数写像を備える連結階数付き余代数であれば、$\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ は片側ホップ代数である。
• 基底が合成木に対応する $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ は、余代数として単体のホップ代数と同型である。
• $\bm{\varphi}$ は単体のホップ代数から $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ への写像として、余代数の同型であり、片側代数の反同型である。
• フォースィとスプリンガーフィールド（2010）が導入した単体のホップ代数は、$\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ との同型により、余代数として余自由であることが示された。
• $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ の余積は、合成の再結合により与えられ、$\Delta(F_{1,3}) = F_1 \otimes F_{1,3} + F_{1,1} \otimes F_3 + F_{1,2} \otimes F_2 + F_{1,3} \otimes F_1$ である。