[論文レビュー] Coherence for lenses and open games

Jules Hedges|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 18被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、双対性の部分的適用と、対応する単位のない余単位を特徴とする、コンパクト閉じた圏を一般化する新しいクラスの対称モノイダル圏、すなわち目的論的圏を導入する。この圏において、図式的言語の整合性定理を確立し、構成的ゲーム理論やレンズ理論で使われる非形式的なストリング図による推論を形式的に裏付け、オープンゲームの圏と多相的レンズの圏が両方とも目的論的圏であることを証明する。

ABSTRACT

Categories of polymorphic lenses in computer science, and of open games in compositional game theory, have a curious structure that is reminiscent of compact closed categories, but differs in some crucial ways. Specifically they have a family of morphisms that behave like the counits of a compact closed category, but have no corresponding units; and they have a `partial' duality that behaves like transposition in a compact closed category when it is defined. We axiomatise this structure, which we refer to as a `teleological category'. We precisely define a diagrammatic language suitable for these categories, and prove a coherence theorem for them. This underpins the use of diagrammatic reasoning in compositional game theory, which has previously been used only informally.

研究の動機と目的

• 構成的ゲーム理論における非形式的な図式的推論の背後にある、オープンゲームと多相的レンズの構造的性質を形式的に公理化すること。
• オープンゲームやレンズに見られる非対称な双対性と部分的転置を捉える新しい圏のクラス、すなわち目的論的圏を定義すること。
• これらの圏における図式的言語の整合性定理を確立し、図の同値性が圏論的同値性に対応することを保証すること。
• オープンゲームの圏と、レンズの法則を含まない多相的レンズの圏が、両方とも目的論的圏の例であることを示すこと。
• 今後のオープンゲームの同値性や表面図に関する研究のための形式的基盤を、目的論的枠組みを通じて提供すること。

提案手法

• コンパクト閉じた圏を一般化することで、目的論的圏を公理化し、単位のない余単位と、転置に類似した操作による部分的双対性に焦点を当てる。
• オープンゲームの図にインspiredされた、一方方向にしか曲げられない方向性を持つストリング図を用いて、目的論的圏の図式的言語を定義する。
• シグネチャ上での自由目的論的圏を二段階のプロセスで構成する：まずモノイダルシグネチャを用いて回路の圏を定義し、次に同値関係（$\cong_t$）による商をとることで整合性を強制する。
• 図の圏を$\cong_t$-同値で割った結果の圏が、シグネチャ上の自由目的論的圏と同値であることを証明する。
• 構造的帰納法と余単位写像（$\varepsilon$）の外部自然性を用いて、図の圏から任意の目的論的圏への標準的関手が双対性および余単位構造を保存することを検証する。
• 自由圏の普遍性を活用して、図の圏から任意のターゲット目的論的圏への関手が、シグネチャ準同型の下で一意に定まることを示し、整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オープンゲームと多相的レンズが共有する構造的性質は何か？ これにより、統一的な圏的枠組みを正当化できるか？
• RQ2 構成的ゲーム理論で使われる非形式的な図式的推論を、圏論を用いてどのように形式的に正当化できるか？
• RQ3 部分的双対性と非対称な余単位を持つ圏のための図式的言語を、整合的かつwell-definedにできるか？
• RQ4 オープンゲーム図に見られる「曲げられたワイヤー」現象の正確な圏的公理化は何か？
• RQ5 オープンゲームの同値性理論は、目的論的圏の2次元的言語でどの程度まで捉えられるか？

主な発見

• オープンゲームの圏は目的論的圏である。これにより、構成的ゲーム理論における図式的表現が形式的に正当化される。
• レンズの法則を含まない多相的レンズの圏も目的論的圏である。これにより、レンズ理論とゲーム理論の間の新たな関係が明らかになる。
• 目的論的圏の図式的言語は整合的である：2つの図が同じモルフィズムを表すための必要十分条件は、定義された同値関係（$\cong_t$）による同値性である。
• 整合性定理により、自由目的論的圏から任意のターゲット目的論的圏への関手が、シグネチャ準同型の下でwell-definedかつ一意に定まることを保証する。
• 目的論的圏における余単位写像（$\varepsilon$）は外部自然性を満たしており、これは整合性の証明および双対性構造の保存に不可欠である。
• この構成により、レンズ圏における効果（モノイダル単位への射）が継続（continuations）に対応することが示され、レンズ理論における新たな洞察が得られる。