[論文レビュー] Cohomological Aspects of Gauge Invariance in the Causal Approach

D. R. Grigore|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、因果的摂動論におけるゲージ不変性の背後にあるコhomological構造、特にヤン・ミルズ模型について調査する。ゲージ不変性がすべての摂動的順序で成立するためには、零ノルムなゲージチャージ $ d_Q $ を含む降下方程式を解くことに帰着され、異常（ゲージ不変性の障害）がパリティ不変性およびトレースレス制約のもとで消えることを証明する。これにより、線形でヒルベルト空間に基づく枠組みにおいて、コhomological基準により renormalizability が保証される。

ABSTRACT

Quantum theory of the gauge models in the causal approach leads to some cohomology problems. We investigate these problems in detail.

研究の動機と目的

• 因果的量子場理論へのアプローチにおけるゲージ不変性のコhomological起源を理解すること。
• すべての摂動的順序へのウォード＝タカハシ恒等式の一般化の障害としての異常を分析すること。
• ゲージ不変性の問題を、零ノルムなゲージチャージ $ d_Q $ を含む降下方程式系に還元すること。
• パリティ不変性およびトレースレス性のもとで異常は消えることの証明を行い、renormalizability を保証すること。
• renormalization に不可欠な時系列積の任意性のコhomological特徴づけを提供すること。

提案手法

• ゲージ不変性を、ゴースト数を1つ増加させる零ノルム作用素 $ d_Q = [Q, \cdot] $ を用いて形式化する。
• すべての順序におけるゲージ不変性を、$ s_l $ がゴースト数のグレーディングを表す降下方程式 $ d_Q T^{I_1,\dots,I_n} = i \sum_l (-1)^{s_l} \partial_{\mu_l} T^{I_1,\dots,I_l\mu,\dots,I_n} $ として表現する。
• Wess-Zumino型の一貫性条件を解として用いることで、異常構造をコhomological性質に還元する。
• オンシェル場と修正されたポincareレムマを用いた幾何的枠組みを用いる。
• テンソル構造を、トレースレス部分と $ \eta_{\mu\nu} $、$ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} $、スピンル構造 $ \sigma^{\alpha\beta}_{ab} $ の因子に分解することで分析する。
• パリティ不変性およびトレースレス性が、2つの $ \epsilon $-テンソルを含む任意の異常を消滅させることを証明し、非退化な内積を用いてテンソル部分空間の直交性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果的量子場理論へのアプローチにおいて、すべての摂動的順序におけるゲージ不変性を体系的に特徴づける方法は何か？
• RQ2 摂動的量子場理論におけるゲージ不変性を破る可能性のある異常に関するコhomological構造は何か？
• RQ3 なぜ、2つの $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} $ 要素を含む異常はパリティ不変性のもとで消える必要があるのか？
• RQ4 テンソル分解とトレースレス制約は、時系列積における可能な異常形式にどのような制約を課えるか？
• RQ5 ゴースト数グレーディングと零ノルム作用素 $ d_Q $ は、ゲージ不変性条件を降下方程式に還元するために果たす役割は何か？

主な発見

• すべての順序におけるゲージ不変性は、零ノルムなゲージチャージ $ d_Q $ を含む降下方程式に帰着され、古典的関係 $ [Q,T] = i\partial_\mu T^\mu $ を一般化する。
• ゲージ不変性の障害である異常は、Wess-Zumino一貫性条件を満たし、トレースレス性およびパリティ不変性によって制約を受ける。
• 2つの $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} $ テンソルを含む任意の異常は、恒等式 $ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \propto \text{det}(\eta) $ により消える。これはトレースレスかつパリティ奇な寄与を生じさせ、それが存続できないことを示す。
• パリティ不変テンソル構造の空間は、直交部分空間 $ T^n_k $ に分解され、それぞれが $ k $ 個の $ \eta_{\mu\nu} $ 要素とトレースレステンソルで張られる。非退化な内積により、一意的な分解が保証される。
• テンソル分解における係数は、元のテンソルのトレースとして表現可能であり、分解が正規化され、物理的に意味を持つことを証明する。
• 時系列積の任意性のコhomological構造は、同じ降下方程式の解によって完全に特徴づけられ、異常項が消える場合に renormalizability が保証される。