[論文レビュー] Cohomological Induction over Q and Frobenius-Schur indicators for (g,K)-modules

Fabian Januszewski|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一般の再帰的群に対する尖点形式の空間にグローバルな有理構造を確立し、特にGL(n)に対してその最適性を証明する。任意の標数0の体上のハリシ・チャンドラモジュールの基礎的理論を構築し、有理的特徴方程式理論、移動関手、およびコホモロジー誘導を含む。この理論を応用して、GL(n)の斉次自動形式表現に対する自然な周期を構成し、L関数の特別値における算術的意義を明らかにする。

ABSTRACT

This paper proves the existence of global rational structures on spaces of cusp forms of general reductive groups. We identify cases where the constructed rational structures are optimal, which includes the case of GL($n$). As an application, we deduce the existence of a natural set of periods attached to cuspidal automorphic representations of GL($n$). This has consequences for the arithmetic of special values of $L$-functions that we discuss in subsequent articles. In the course of proving our results, we lay the foundations for a general theory of Harish-Chandra modules over arbitrary fields of characteristic $0$. In this context, a rational character theory, translation functors and an equivariant theory of cohomological induction are developed. We also study descent problems for Harish-Chandra modules in quadratic extensions, where we obtain a complete theory over number fields.

研究の動機と目的

• 一般の再帰的群に対する尖点形式の空間にグローバルな有理構造を構築すること。
• これらの有理構造が最適である条件、特にGL(n)に対して特定すること。
• 任意の標数0の体上のハリシ・チャンドラモジュールの一般的な理論を構築すること。
• 数体上の二次拡大におけるハリシ・チャンドラモジュールの完全な降下理論を確立すること。
• 理論を応用して、GL(n)の斉次自動形式表現に対する自然な周期の存在を示し、L関数の算術的意義を明らかにすること。

提案手法

• 任意の標数0の体上の(g,K)-モジュールの理論を発展させ、有理的特徴方程式や移動関手といった基礎的構造を拡張する。
• 任意の標数0の体上での等変コホモロジー誘導関手を導入し、古典的構成を一般化する。
• コホモロジー誘導を用いて尖点形式の空間への有理構造を構成し、その存在と主要な場合における最適性を証明する。
• 数体上の二次拡大におけるハリシ・チャンドラモジュールの降下問題を分析し、数体上での完全な理論を達成する。
• 構築された有理構造を用いて、GL(n)の斉次自動形式表現に付随する標準的な周期の集合を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の再帰的群に対する尖点形式の空間にグローバルな有理構造が存在する条件は何か？
• RQ2 構築された尖点形式の有理構造が最適であるのはいつか、特にGL(n)に対しては？
• RQ3 任意の標数0の体上での一貫性のあるハリシ・チャンドラモジュール理論をどのように構築できるか？
• RQ4 数体上の二次拡大におけるハリシ・チャンドラモジュールの完全な降下理論とは何か？
• RQ5 GL(n)の斉次自動形式表現に対する自然な周期の存在から、どのような算術的帰結が得られるか？

主な発見

• すべての一般再帰的群に対して、尖点形式の空間にグローバルな有理構造が存在する。
• 構築された有理構造はGL(n)に対して最適であり、標準的な算術的枠組みを提供する。
• 任意の標高0の体上での(g,K)-モジュールの包括的な理論が構築され、有理的特徴方程式理論や移動関手を含む。
• 数体上の二次拡大におけるハリシ・チャンドラモジュールの完全な降下理論が確立された。
• GL(n)の斉次自動形式表現に自然な周期の集合が関連付けられ、L関数の特別値の算術的性質に影響を与える。