[論文レビュー] The Character Theory of a Complex Group

Dani Ben‐Zvi, David Nadler|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 53被引用数 59

ひとこと要約

この論文は、複素再帰的群 G のフラッグ多様体上のボレル不変 D-加群のヘッケカテゴリが、有限ヘッケ代数をカテゴライズ化する二重双対的でカラビ＝ヤウなモノイダル圏であることを確立する。Drinfeld中心およびトレースがスプリンガー対応を介してルスティグの単純性特徴層に同値であることを証明し、ハリシュ・チャンドラの特徴理論をカテゴライズ化するとともに、コーサル双対性を通じて単純性特徴層のためのラングランズ双対性を提供する。

ABSTRACT

We apply the ideas of derived algebraic geometry and topological field theory to the representation theory of reductive groups. Our focus is the Hecke category of Borel-equivariant D-modules on the flag variety of a complex reductive group G (equivalently, the category of Harish Chandra bimodules of trivial central character) and its monodromic variant. The Hecke category is a categorified analogue of the finite Hecke algebra, which is a finite-dimensional semi-simple symmetric Frobenius algebra. We establish parallel properties of the Hecke category, showing it is a two-dualizable Calabi-Yau monoidal category, so that in particular, its monoidal (Drinfeld) center and trace coincide. We calculate that they are identified through the Springer correspondence with Lusztig's unipotent character sheaves. It follows that Hecke module categories, such as categories of Lie algebra representations and Harish Chandra modules for G and its real forms, have characters which are themselves character sheaves. Furthermore, the Koszul duality for Hecke categories provides a Langlands duality for unipotent character sheaves. This can be viewed as part of a dimensionally reduced version of the geometric Langlands correspondence, or as S-duality for a maximally supersymmetric gauge theory in three dimensions.

研究の動機と目的

• G/B 上のボレル不変 D-加群のヘッケカテゴリが二重双対的でカラビ＝ヤウなモノイダル圏であることを示すことにより、有限ヘッケ代数をカテゴライズ化すること。
• Drinfeld中心およびトレースがスプリンガー対応を介してルスティグの単純性特徴層に同値であることを確立すること。
• 双対可能なヘッケ加群圏（例：(g,K)-加群の圏や Category O）の特徴が、それ自身が特徴層であることを示し、ハリシュ・チャンドラの特徴理論をカテゴライズ化すること。
• 次元削減された幾何的ラングランズや 3D S双対性の文脈において、コーサル双対性を通じて単純性特徴層のためのラングランズ双対性を導出すること。
• この枠組みをヘッケカテゴリのモノドロミー的バージョンに拡張し、その設定においても同様の中心およびトレースの同値性を証明すること。

提案手法

• 導来代数幾何学およびトポロジカル場理論（TFT）を用いて、ヘッケカテゴリを有限ヘッケ代数のカテゴライズ化的類似物として分析する。
• ∞-圏、モノイダル構造、および双対可能性の理論を適用し、ヘッケカテゴリが二重双対的でカラビ＝ヤウであることを示す。
• フラッグ多様体上の D-加群における積分変換および畳み込みを用いて、ヘッケカテゴリのモノイダル構造を実現する。
• 循環的バーバー構成および転置ホッフシャイルド対象を用いて、ヘッケカテゴリの Drinfeld 中心およびトレースを計算する。
• ヴェルディエ双対性およびスタック上の D-加群の整合性条件を用いて、ループ空間およびホロサイクル対応の幾何と関連付ける。
• 元のヘッケカテゴリとモノドロミー的ヘッケカテゴリの間でモラータ不変性を確立し、核および直交補空間がモノドロミー的ねじれのもとで保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素再帰的群 G のフラッグ多様体上のボレル不変 D-加群のヘッケカテゴリは、どのように有限ヘッケ代数をカテゴライズ化するか？
• RQ2 ヘッケカテゴリの Drinfeld 中心およびトレースの正確な関係は何か？ そしてそれらはルスティグの単純性特徴層とどのように関係するか？
• RQ3 （g,K）-加群や Category O などのヘッケ加群圏の特徴理論は、特徴層を用いてカテゴライズ化可能か？
• RQ4 コーサル双対性は、この枠組みにおいて単純性特徴層のためのラングランズ双対性をどのように導くか？
• RQ5 モノドロミー的 D-加群は、ヘッケカテゴリのモノドロミー的バージョンにおける中心およびトレースの結果を拡張する際に果たす役割は何か？

主な発見

• G/B 上のボレル不変 D-加群のヘッケカテゴリは、二重双対的でカラビ＝ヤウなモノイダル圏であり、有限ヘッケ代数をカテゴライズ化する。
• ヘッケカテゴリの Drinfeld 中心およびトレースは、いずれもスプリンガー対応を介してルスティグの単純性特徴層に同値である。
• 双対可能なヘッケ加群圏（例：(g,K)-加群の圏や Category O）の特徴は、それ自身が特徴層である。
• ヘッケカテゴリのモノドロミー的バージョンでは、中心およびトレースが同様に同じ単純性特徴層に同値であり、モラータ不変性のもとで同値性が保たれる。
• コーサル双対性は、幾何的ラングランズ対応の次元削減版を実現する形で、単純性特徴層のためのラングランズ双対性を提供する。
• ヘッケカテゴリの中心およびトレースの同値性は、ループ空間上の積分変換およびカーネルを含む自然な随伴可換図式によって実現される。