[論文レビュー] Cohomological support loci for Abel-Prym curves

Sebastian Casalaina Martin, Martí Lahoz+1 more|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーベル＝プリム曲線がそのプリム多様体に埋め込まれた場合のコhomological support loci およびシータ双対次元を決定する。非超楕円型のアーベル＝プリム曲線で、 genus $ ilde{g} = 2g-1$ で、次元 $g-1$ のプリム多様体に埋め込まれたものについて、シータ双対の次元が $g-4$ であることを示し、捩れたイデアル層 $ ilde{\mathcal{I}}_{ ilde{C}}(\Xi)$ および $ ilde{\mathcal{I}}_{ ilde{C}}(2\Xi)$ のコhomological support loci を完全に特徴づけ、コホモロジー群の消失および非消失を用いてその構造を明らかにする。

ABSTRACT

For an Abel-Prym curve contained in a Prym variety, we determine the cohomological support loci of its twisted ideal sheaves and the dimension of its theta-dual.

研究の動機と目的

• アーベル＝プリム曲線がそのプリム多様体に埋め込まれた場合のシータ双対の次元を決定すること。
• プリム多様体上の $n=1,2$ に対するコホモロジー的サポート・ローカス $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(n\Xi))$ を計算すること。
• ジェネリック・ヴァナリング理論およびフーリエ＝ムカイ変換を用いてサポート・ローカスの構造を理解すること。
• アーベル＝プリム曲線の捩れたイデアル層のコホモロジー的サポート・ローカスを精確に特徴づけること。

提案手法

• アーベル多様体上の連接層のコホモロジー的サポート・ローカスおよびジェネリック・ヴァナリング理論を用いる。
• ポアンカレ線分束を用いたフーリエ＝ムカイ変換を適用し、コホモロジーの消失および非消失を分析する。
• $V(X) = V^0(\mathcal{I}_X(\Theta))$ として定義されるシータ双対の定義を用い、曲線を含むシータ平行移動の集合を特定する。
• $ tilde{C}$ が canonical 写像により $P$ に埋め込まれており、$P$ は極性 $ Xi$ を持つ principally polarized abelian variety であることを利用する。
• Pareschi-Popa の $GV_k$-層および曲線上の線形系列の構造に関する結果を適用する。
• ムムフォードのパリティ・トリックおよびインシデント多様体を用いて、線形系の基点自由性および全射性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル＝プリム曲線のプリム多様体におけるシータ双対の次元は何か？
• RQ2 コホモロジー的サポート・ローカス $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(\Xi))$ は $i=0,1,2,\geq3$ の場合にどのように振る舞うか？
• RQ3 コホモロジー的サポート・ローカス $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(2\Xi))$ は $i=0,1,2,\geq3$ の場合にどのように構造を持つか？
• RQ4 制限写像 $H^0(P', \mathcal{O}_{P'}(2\cdot\Xi^+_E)) \to H^0(\widetilde{C}, \mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2\cdot\Xi^+_E))$ が一般の $E \in \Xi^+_E$ に対して全射となる条件は何か？
• RQ5 一般の $\alpha \in \Xi^+_E$ に対して、曲線 $\widetilde{C}$ 上の線形系 $|E \otimes \alpha|$ が基点を持たないのはどのような場合か？

主な発見

• アーベル＝プリム曲線のシータ双対 $V(\widetilde{C})$ の次元は $g-4$ である。
• $\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(\Xi)$ に対して、$V^0 = V^1 = V(\widetilde{C})$、$V^2 = P$、$V^i = \emptyset$（$i \geq 3$）が成り立つ。
• $\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(2\Xi)$ に対して、$g \geq 4$ のとき $V^0 = P$、$g = 3$ のとき $V^0 = \{0\}$；$V^1 = V^2 = \{0\}$、$V^i = \emptyset$（$i \geq 3$）が成り立つ。
• 一般の $E \in \Xi^+_E$ に対して、制限写像 $H^0(P', \mathcal{O}_{P'}(2\cdot\Xi^+_E)) \to H^0(\widetilde{C}, \mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2\cdot\Xi^+_E))$ は全射である。
• 一般の $\alpha \in \Xi^+_E$ に対して、線形系 $|E \otimes \alpha|$ は基点自由であり、$h^0(E \otimes \alpha) = 2$ である。
• $\widetilde{C}$ 上の $\mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2E)$ の切断空間の次元が $\tilde{g}-1$ であることを示すために、$\tilde{g}-1$ 個の独立な除集合 $E_{\alpha,j} + E'_{\alpha,j}$ の構成がなされる。