[論文レビュー] Regularity on abelian varieties III: relationship with Generic Vanishing and applications

Giuseppe Pareschi, Mihnea Popa|ArXiv.org|Feb 7, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体上のM正則性と一般化された消滅（GV）条件の間の明確な関係を確立し、M正則な層が、そのフォーリエ＝ムカイ双対が torsion-free であるGV層であることを示している。また、一つの因子が局所自由であるとき、GV層のテンソル積がGVであることを証明し、これによりGV層がnefであることを示している。この枠組みにより、多様体の正則なペアの写像やセーシャドリ定数に関する新たな有効な結果が得られ、ベクトルバンドルの正規生成性のコhomological基準が提供される。

ABSTRACT

We describe the relationship between the notions of $M$-regular sheaf and $GV$-sheaf in the case of abelian varieties. The former is a natural strengthening of the latter, and we provide an algebraic criterion characterizing it among the larger class. Based on this we deduce new basic properties of both $M$-regular and $GV$-sheaves. In the second part we give a number of applications of generation criteria for $M$-regular sheaves to the study of Seshadri constants, Picard bundles, pluricanonical maps on irregular varieties, and semihomogeneous vector bundles. This second part of the paper is based on our earlier preprint math.AG/0306103, with some improved statements and shortened arguments.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上でのM正則性と一般化された消滅（GV）条件の間の明確な関係を明らかにすること。
• 特に一つの因子が局所自由である場合に、GV層およびM正則層のテンソル積における閉包性を確立すること。
• M正則層のアーベル多様体上のnef性を、M正則層の正則性と双対性を用いて示すこと。
• M正則層の生成性の性質を応用し、最大アーベル多様体次元を持つ不規則多様体の多様体の正則なペアの写像に関する有効な結果を得ること。
• M正則性インデックスを用いてセーシャドリ定数を評価し、フォーリエ＝ムカイ技法を用いてピカールバンドルおよびベルリンデバンドルのコhomological性質を研究すること。

提案手法

• フォーリエ＝ムカイ変換とグロタンディーク双対性を用いて、M正則層を、そのフォーリエ＝ムカイ双対が torsion-free であるGV層として特徴付ける。
• ホモロジー代数および可換代数の技法を用いて、テンソル積におけるコホモロジー的サポート・ローカスを分析する。
• M正則層の正則性に関するデバールの定理を応用し、基底変換と双対性を用いてGV層がnefであることを導出する。
• イーガン＝ノースコット分解を用いて、ジャコビアン上のピカールバンドルおよびそのテンソル冪の正則性を計算する。
• 対称積の構造と同一型による引き戻しを用いて、コホモロジー的消滅を、除数類の線形結合の正則性に還元する。
• アーベル多様体のカステルヌオヴォ＝マウムフォード補題およびケンプフ型の議論を用いて、$(-1)$-\Theta-正則バンドルの乗法写像の全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上でのM正則性と一般化された消滅（GV）条件の関係は何か？
• RQ2 二つのGV層のテンソル積が再びGV層であるための条件は何か？
• RQ3 M正則性と双対性から、アーベル多様体上のGV層のnef性をどのように導けるか？
• RQ4 最大アーベル多様体次元を持つ不規則多様体の正則なペアの写像の非常に正則性に対して、どのような有効な評価が得られるか？
• RQ5 M正則性インデックスは、セーシャドリ定数およびアーベル多様体上のベクトルバンドルの正規生成性とどのように関係するか？

主な発見

• M正則層は、そのフォーリエ＝ムカイ双対が torsion-free であるGV層として特徴付けられ、両者の概念の明確な結びつきが得られた。
• 一つの因子が局所自由であるとき、GV層のテンソル積はGVであり、同様にM正則層に対しても、torsion-free 条件により同様の性質が成り立つ。
• アーベル多様体上のGV層はnefである。これはM正則層の正則性と双対性理論から導かれる結果である。
• 一般型かつ最大アーベル多様体次元を持つ滑らかでかつアーベル多様体への像が部分トーラスで生成されない滑らかな射影的多様体 $Y$ に対して、$|3K_Y|$ はアーベル多様体写像の特異点の除去領域を除いて非常に正則である。
• アーベル多様体上の極性 $L$ のセーシャドリ定数は、$L$ の$M$-正則性インデックスによって下から抑えられ、局所正則性の新たな数的不変量が得られた。
• $(-1)$-\Theta-正則ベクトルバンドル $E$ および $F$ に対して、乗法写像 $H^0(E) \otimes H^0(F) \to H^0(E \otimes F)$ は全射であり、これは正規生成性を示唆する。