[論文レビュー] Cohomology and Obstructions II: Curves on K-trivial threefolds

Herbert Clemens|ArXiv.org|Jun 20, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、K-自明な3次元多様体上の曲線の局所的解析的ヒルベルト汎関数を、クルンシーサイエンス理論を用いて勾配スキームの形で定式化し、それが正則関数の外微分の零点集合として現れることを示している。さらに、ベクトル束およびブリル・ノイザー局所的スキームに対しても類似の勾配スキームを構成し、ガウス＝ミン・接続と相対コホホロジーを用いてアーベル・ジャコビ写像を再解釈することで、変形理論と中間ジャコビアンを結びつける。

ABSTRACT

On a threefold with trivial canonical bundle, Kuranishi theory gives an algebro-geometry construction of the (local analytic) Hilbert scheme of curves at a smooth holomorphic curve as a gradient scheme, that is, the zero-scheme of the exterior derivative of a holomorphic function on a (finite-dimensional) polydisk. (The corresponding fact in an infinite dimensional setting was long ago discovered by physicists.) An analogous algebro-geometric construction for the holomorphic Chern-Simons functional is presented giving the local analytic moduli scheme of a vector bundle. An analogous gradient scheme construction for Brill-Noether loci on ample divisors is also given. Finally, using a structure theorem of Donagi-Markman, we present a new formulation of the Abel-Jacobi mapping into the intermediate Jacobian of a threefold with trivial canonical bundle.

研究の動機と目的

• K-自明な3次元多様体上の曲線の局所的解析的ヒルベルトスキームを、クルンシーサイエンス理論を用いて正則勾配スキームとして記述すること。
• この勾配スキーム構成を、同様の3次元多様体上の正則ベクトル束のモジュライへ拡張すること。
• K-自明な3次元多様体におけるアンピールな除数上のブリル・ノイザー局所的スキームに対し、類似の勾配スキームを定式化すること。
• ガウス＝ミン・接続と相対コホモロジーを用いて、中間ジャコビアンへのアーベル・ジャコビ写像を再表現すること。
• K-自明な3次元多様体上でのセール双対性を用いて、変形理論的障害とコホモロジー的双対性を統一すること。

提案手法

• クルンシーサイエンス理論を適用し、曲線の局所ヒルベルトスキームを、有限次元のポリディスク上での正則関数の外微分の零点集合として実現する。
• K-自明な3次元多様体上でのセール双対性を用いて、1次変形 $\operatorname{Ext}^1(A,A)$ と障害 $\operatorname{Ext}^2(A,A)$ をトレース写像により $H^3(\mathcal{O}_{X_0}) = \mathbb{C}$ に結びつける。
• その勾配がベクトル束のモジュライ空間を与える正則チャーン＝サイモンズ汎関数を構成する。
• ブリル・ノイザー局所的スキームに対しては、局所的からグローバルへのスペクトル系列とガウス＝ミン・接続を用い、アーベル・ジャコビ写像の微分を定義する。
• アーベル・ジャコビ写像の微分を、除数上の線束の1次チエーン類にガウス＝ミン・接続を適用したものと特定する。
• ドナギ・マルクマン構造定理を活用し、アーベル・ジャコビ写像を相対コホモロジーとガウス＝ミン・接続を用いて再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K-自明な3次元多様体上の曲線の局所的解析的ヒルベルトスキームは、どのように勾配スキームとして記述できるか？
• RQ2 このような3次元多様体上の正則ベクトル束のモジュライ空間に対する類似の勾配スキーム構成は何か？
• RQ3 アンピールな除数上の線束の変形理論は、ガウス＝ミン・接続とコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 ノエター＝レフシュッツ部分多様体上でのアーベル・ジャコビ写像の微分は、中間ジャコビアンへの写像とどのように関連するか？
• RQ5 ドナギ・マルクマン構造定理は、この文脈におけるアーベル・ジャコビ写像の記述をどのように精緻化するか？

主な発見

• K-自明な3次元多様体 $X_0$ 上の滑らかな曲線 $Y_0$ の局所的解析的ヒルベルトスキームは、有限次元のポリディスク上での正則関数の外微分の零点集合に同型である。
• K-自明な3次元多様体 $X_0$ 上の正則ベクトル束のモジュライ空間も、正則チャーン＝サイモンズ汎関数の勾配スキームとして同様に記述される。
• 非常にアンピールな除数 $S_0$ と、$H_2(X_0;\mathbb{Z})$ に於いてチエーン類が消える線束 $L_0$ の対 $(S_0, L_0)$ の変形理論は、ガウス＝ミン・接続を含む勾配スキーム構成によって支配される。
• ノエター＝レフシュッツ部分多様体に沿ったアーベル・ジャコビ写像の微分は、相対コホモロジー類にガウス＝ミン・接続を適用したものと特定され、これは同調的自明な1次元サイクルのアーベル・ジャコビ不変量に対応する。
• 中間ジャコビアンへのアーベル・ジャコビ写像は、同型 $\nabla\tau: T_{\tilde{X}'} \cong F^2H^3(\tilde{X}/\tilde{X}')$ を用いて再表現され、$d\Phi_{BN}$ がアーベル・ジャコビ不変量を引き上げることを示す。
• この構成により、アーベル・ジャコビ写像の微分と、相対的3次元鎖 $\Gamma_{u'}$ への統合を介したファミリーのコホモロジー的データとの明確な関係が確立される。