[論文レビュー] Cohomology jump loci of quasi-projective varieties

Nero Budur, Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素数体上の滑らかで準射影的多様体のコhomologyジャンプ・ローカルが、ランク1の局所系のキャラクターバリエティ内の部分トーラスの torsion ずれの有限和であることを証明する。対数接続、平坦なバンドルのモジュライ空間、および Dimca-Papadima による無限小変形に関する鍵となる結果を組み合わせることで、著者たちは、これらのローカルの各既約成分が torsion 点を含むことを確立する。これにより、トーラスの部分群のずれであることが保証され、Simpson の定理が準射影的設定へ一般化される。

ABSTRACT

We prove that the cohomology jump loci in the space of rank one local systems over a smooth quasi-projective variety are finite unions of torsion translates of subtori. The main ingredients are a recent result of Dimca-Papadima, some techniques introduced by Simpson, together with properties of the moduli space of logarithmic connections constructed by Nitsure and Simpson.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的多様体から滑らかで準射影的多様体へ、Simpson のコホモロジー・ジャンプ・ローカルに関する定理を一般化すること。
• 滑らかで準射影的多様体上のランク1の局所系の空間におけるコホモロジー・ジャンプ・ローカルが、部分トーラスの torsion ずれの有限和であることを確立すること。
• これらのローカルの各既約成分が torsion 点を含むことを、代数幾何と表現論を用いて示すこと。
• 射影的でない場合の局所系およびそのコホモロジック的不変量の理解を拡張すること。

提案手法

• Simpson の手法と Thom の第一位相的同相定理を用いて、代数的閉包 Q̄ 上に定義された多様体への還元。
• Nitsure と Simpson が構築した対数接続のモジュライ空間を用いて、局所系と平坦バンドルを関連付ける。
• Morgan の Gysin モデルを用いて、自明な局所系の無限小変形を記述する。
• 自明な局所系を含む成分が部分トーラスであるという Dimca-Papadima の結果と、torsion 点の存在を組み合わせ、一般構造を導出する。
• Gelfond-Schneider の定理と Hilbert の不可約性定理を用いて、Q 上に定義されたある代数的集合が有理的または線形的でなければならないことを証明する。
• 射影と指数写像を用いた、余次元に関する帰納的議論により、高余次元の場合を余次元1の場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数体上の滑らかで準射影的多様体のコホモロジー・ジャンプ・ローカルは、滑らかで射影的多様体の場合と同様の構造を持つだろうか？
• RQ2 準射影的設定において、コホモロジー・ジャンプ・ローカルの既約成分に対して torsion 点の性質を確立できるか？
• RQ3 対数平坦バンドルおよびそのモジュライは、基底多様体の位相とその局所系とどのように関係するか？
• RQ4 コホモロジー・ジャンプ・ローカルの構造は、双有理変換やコンパクト化の下でも保存されるか？
• RQ5 代数的閉包 Q̄ は、コホモロジー・ジャンプ・ローカルの位相的不変性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 滑らかで準射影的多様体 U に対して、コホモロジー・ジャンプ・ローカル Σⁱₖ(U) は、キャラクターバリエティ M_B(U) 内の部分トーラスの torsion ずれの有限和である。
• Σⁱₖ(U) の各既約成分は、少なくとも1つの torsion 点を含み、これが主定理への重要なステップである。
• この結果は、Simpson の定理を射影的から準射影的へ一般化するものである。
• 証明は、Dimca と Papadima が示したように、自明な局所系を含む成分が部分トーラスであるという事実に依存する。
• 代数的閉体 Q 上に定義された代数的部分多様体と指数写像の性質を用いて、成分に torsion 点が存在すれば、それが部分トーラスのずれであることが保証される。
• 付録では、代数的集合の指数写像に関する補題を強化し、exp(S) ⊂ T かつ S, T が Q̄ 上に定義されているとき、T が部分トーラスの torsion ずれであることを示している。