[論文レビュー] Cohomology of algebraic groups, finite groups, and Lie algebras: Interactions and Connections

Daniel K. Nakano|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 62被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、旗多様体や冪零軌道といった幾何的構造を用いて、代数群 $G$、有限群 $G(\bbF_q)$、およびインфинテシマル群 $G_r$ のコホモロジー理論の間の新しい関係を確立する。特に、$G(\bbF_q)$、$G_r$、$G$ に注目し、コホモロジー群 $\mathrm{H}^\bullet(G(\bbF_q),k)$ の明示的な境界と消滅結果を提示する。型 $A_n$ および $C_n$ において、所定の素数条件の下で、最初の非自明なコホモロジーがそれぞれ $2p-3$ および $p-2$ の次数で現れることを示している。

ABSTRACT

This paper surveys results on the connections between the cohomology for algebraic groups, finite groups and Frobenius kernels that were presented at the Workshop and Summer School on Lie and Representation Theory at East China Normal University during July 2009.

研究の動機と目的

• 代数群 $G$、有限群 $G(\bbF_q)$、およびインフィニティズマル群 $G_r$ の表現カテゴリの構造的およびコホモロジー的関係を明確化すること。
• 特に $G(\bbF_q)$ のコホモロジーに関する長年の未解決問題、すなわち $\mathrm{H}^i(G(\bbF_q),k)$ の消滅および非消滅を解明すること。
• 旗多様体 $G/B$ や冪零軌道理論といった幾何的道具に加え、ルート系の組合せ論を用いて、拡張およびコホモロジーを計算するための新しい手法を開発すること。
• コクストン数 $h$ よりも大きな $p$ および $r=1$ の場合に、コクストンの分割関数とスペクトル系列を用いて、$\mathrm{H}^\bullet(G(\bbF_q),k)$ の明示的な上界と消滅範囲を確立すること。
• 型 $C_n$ で $p > 2n$ の場合、最初の非自明なコホモロジーが次数 $p-2$ で現れることを証明する。同様に、型 $A_n$ で所定の条件を満たす場合、最初の非自明なコホモロジーは $2p-3$ で現れることを示す。

提案手法

• LHS スペクトル系列を用いて、$G(\bbF_q)$ のコホモロジーを $G$ および $G_1$ のコホモロジーに関連づけ、カテゴリ間での情報の伝達を可能にする。
• コクストンの分割関数を適用し、$r=1$ かつ $p > h$ の場合に $\mathrm{H}^\bullet(G(\bbF_q),k)$ の次元の上界を求める。
• ルート系の組合せ論を用いて、未約基底 $\mathfrak{u}^*$ の対称冪における重複度の解析を通じて、コホモロジー次数の下界を導出する。
• シュタインベルクのテンソル積定理および制限関手を用いて、$G$、$G_r$、$G(\bbF_q)$ 間での単純モジュールおよび射影モジュールの関係を確立する。
• 有限次元ココミュタティブなホップ代数のサポート多様体および複雑度理論を用いて、$\mathrm{mod}(G_r)$ および $\mathrm{mod}(G(\bbF_q))$ における拡張の挙動を分析する。
• 特定の重み $\lambda = p\omega_1 + w\cdot 0$ を構成し、$\mathrm{H}^{p-2}(G, H^0(\lambda) \otimes H^0(\lambda^*)^{(1)}) \neq 0$ であることを示し、臨界次数での非消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $C_n$ で $p > 2n$ の場合、$\mathrm{H}^i(G(\bbF_q),k)$ の正確な消滅範囲は何か？
• RQ2 型 $A_n$ において、$\mathrm{H}^i(G(\bbF_p),k)$ の最初の非自明なコホモロジーはどの次数に現れ、これは $p$ および $n$ にどのように依存するか？
• RQ3 コクストンの分割関数およびルート系のデータを用いて、$G(\bbF_q)$ のコホモロジーを上界で抑えられるか？
• RQ4 アドジョイント型の群に対して、$\mathrm{H}^\bullet(G(\bbF_q),k)$ の次元に一様な上界が存在するか？
• RQ5 LHS スペクトル系列を通じて、$G(\bbF_q)$ のコホモロジーと $G$ のコホモロジーの関係は何か？

主な発見

• 型 $C_n$ で $p > 2n$ の場合、$\mathrm{H}^i(G(\bbF_q),k) = 0$ が $0 < i < r(p-2)$ で成り立ち、$\mathrm{H}^{p-2}(G(\bbF_p),k) \cong k$ である。
• 型 $A_n$ で $n \geq 2$ かつ $p > n+1$ の場合、$p > n+2$ および $n > 3$ の条件下で最初の非自明なコホモロジーは次数 $2p-3$ に現れ、$\mathrm{H}^{2p-3}(G(\bbF_p),k) \cong k$ である。
• $p = n+2$ かつ $n \geq 2$ の場合、$\mathrm{H}^{p-2}(G(\bbF_p),k) \cong k \oplus k$ であり、これは非自明な自己拡張を示している。
• $n=2$ かつ $3 \mid (p-1)$ の場合、$\mathrm{H}^{2p-6}(G(\bbF_p),k) \cong k \oplus k$ であるが、$3 \nmid (p-1)$ の場合は最初の非自明なコホモロジーは $2p-3$ で現れ、$\mathrm{H}^{2p-3}(G(\bbF_p),k) \cong k$ である。
• $n=3$ かつ $p > 5$ の場合、$\mathrm{H}^{2p-6}(G(\bbF_p),k) \cong k$ であり、消滅範囲における一貫したパターンが示されている。
• 重み $\lambda = (p-2n)\omega_1$ で、特定のウェイル群の元 $w$ を用いるとき、$\mathrm{H}^{p-2}(G, H^0(\lambda) \otimes H^0(\lambda^*)^{(1)}) \neq 0$ であることが示され、予測された次数での非消滅が証明された。