[論文レビュー] The Geometry and Kinematics of the Matrix Lie Group $SE_K(3)$

Yarong Luo, Mengyuan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Inertial Sensor and Navigation参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ロボット工学における拡張されたポーズをモデル化するための行列リー群 $SE_K(3)$ の包括的な導出を提供している。$SE(3)$ を拡張し、$K$ 個の追加の並進状態を含める。閉形式の逆ヤコビアン、ポーズ合成則、不確実性伝播の単調性の証明を導出し、インvariant拡張カルマンフィルタにおける一貫性のある状態推定を可能にし、慣性航法およびSLAMに応用する。

ABSTRACT

Currently state estimation is very important for the robotics, and the uncertainty representation based Lie group is natural for the state estimation problem. It is necessary to exploit the geometry and kinematic of matrix Lie group sufficiently. Therefore, this note gives a detailed derivation of the recently proposed matrix Lie group $SE_K(3)$ for the first time, our results extend the results in Barfoot \cite{barfoot2017state}. Then we describe the situations where this group is suitable for state representation. We also have developed code based on Matlab framework for quickly implementing and testing.

研究の動機と目的

• ロボット工学における拡張されたポーズをモデル化するための行列リー群 $SE_K(3)$ の理論的基盤を拡張すること。
• 不変フィルタリングに不可欠な、$SE_K(3)$ における逆ヤコビアンの閉形式表現を導出すること。
• 群演算を用いて、$SE_K(3)$ 内の一般ポーズの合成を形式化すること。
• $SE_K(3)$ 上での不確実性伝播の単調性を分析し、状態推定の一貫性を保証すること。
• ロボット工学の応用におけるテストおよびデプロイメントに適した実用的MATLAB実装を提供すること。

提案手法

• $SE_K(3)$ の幾何的構造を、$SO(3) \rtimes \mathbb{R}^{3K}$ としての半直積として導出し、$SE(3)$ を一般化する。
• 回転 $R \in SO(3)$ と $K$ 個の並進ベクトル $p_k \in \mathbb{R}^3$ を用いたブロック行列表現により群を定義する。
• 群の合成則を導出し：$T_1 T_2 = \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1 p_2 + p_1 \end{bmatrix}$、これは $SE(3)$ の合成を一般化する。
• 群要素の逆元を $T^{-1} = \begin{bmatrix} R^{-1} & -R^{-1} p_k \end{bmatrix}$ として導出し、群の閉包性を保つ。
• 恒等元における接空間としてのリー代数 $\mathfrak{se}_K(3)$ を導出し、$\xi \in \mathbb{R}^{3(K+1)}$ でパラメータ化する。
• Weylの不等式およびMinkowskiの行列式不等式を用いて不確実性伝播の単調性を証明し、$\det(\Sigma_{ik}) > \det(\Sigma_{ij})$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SE_K(3)$ の幾何学的構造と運動学が、$SE(3)$ および $SO(3)$ の一般化として体系的にどのように導出できるか？
• RQ2 $SE_K(3)$ における逆ヤコビアンの閉形式表現は何か？ そして、不変フィルタリングをどのように支援するか？
• RQ3 $SE_K(3)$ 内の一般ポーズの合成はどのように導出され、その代数的構造は何か？
• RQ4 $SE_K(3)$ 上での不確実性伝播は、A-、D-、E-最適性基準の下でも単調性を保つのか？
• RQ5 $SE_K(3)$ はどのようなロボット工学的応用において、一貫性があり効果的な状態表現を提供するのか？

主な発見

• $SE_K(3)$ における逆ヤコビアンは閉形式で導出され、不変拡張カルマンフィルタにおける効率的な計算を可能にする。
• $SE_K(3)$ 内の2要素の合成は明示的に $T_1 T_2 = \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1 p_2 + p_1 \end{bmatrix}$ として導出され、$SE(3)$ の合成を一般化する。
• $SE_K(3)$ 上での不確実性伝播は単調である：不確実性行列のすべての固有値が時間とともに増加し、フィルタリングの一貫性を保証する。
• 不確実性行列の行列式は伝播に伴い増加し、D-最適性基準における単調性を確認する。
• 不確実性分布のRényiエントロピーは単調に増加し、情報理論的最適性と一貫していることを確認する。
• 群 $SE_K(3)$ は、慣性航法およびSLAMにおける姿勢、位置、速度といった拡張状態のモデル化に適している。