[論文レビュー] Cohomology of Categorical Self-Distributivity

J. Scott Carter, Alissa S. Crans+2 more|ArXiv.org|Jul 18, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、余代数の圏における自己分配的構造のための統一的コホモロジー理論を導入し、ケイクルとリー代数のコホモロジーの両方を一般化する。図式的計算と圏論における内部化を用いて、非自明なケイクルおよびリー代数のコサイクルが、次元2および3における非自明なシェルフコホモロジー類を誘導することを確立し、コホモロジーが非自明であることを証明するとともに、自己分配的演算の変形に対する障害を提供する。

ABSTRACT

We define self-distributive structures in the categories of coalgebras and cocommutative coalgebras. We obtain examples from vector spaces whose bases are the elements of finite quandles, the direct sum of a Lie algebra with its ground field, and Hopf algebras. The self-distributive operations of these structures provide solutions of the Yang--Baxter equation, and, conversely, solutions of the Yang--Baxter equation can be used to construct self-distributive operations in certain categories. Moreover, we present a cohomology theory that encompasses both Lie algebra and quandle cohomologies, is analogous to Hochschild cohomology, and can be used to study deformations of these self-distributive structures. All of the work here is informed via diagrammatic computations.

研究の動機と目的

• 自己分配的性質の圏論的枠組みにおいて、ケイクルコホモロジーとリー代数コホモロジーを統一するコホモロジー理論を開発すること。
• 余代数における自己分配的演算とYang–Baxter方程式の解との間の関係を確立すること。
• 余代数の圏における自己分配的構造の変形に対するコホモロジー的障害理論を提供すること。
• ケイクルおよびリー代数コホモロジーにおける非自明なコサイクルが、次元2および3における非自明なシェルフコホモロジー類に引き上げられることを示すこと。
• 内部化および余乗法構造を用いた図式的かつ圏論的基礎を用いて、自己分配的性質の図式的および圏論的基礎を探索すること。

提案手法

• 圏論的技法を用いて、余代数の圏におけるシェルフおよびラックの内部化を行う。
• 余乗法および自己分配的写像の図式的計算を通じて、余代数における自己分配的演算のコホモロジー理論を定義する。
• 余乗法および自己分配的演算を用いて、2次および3次コサイクル条件を構成し、図式的恒等式による検証を行う。
• 余代数の文脈において、変形理論的枠組みを模倣することで、ホッフシュャイルドコホモロジーと関連付ける。
• リー代数 $ \frak{g} $ に対して $ N = k \rtimes \frak{g} $ に定義された自己分配的演算 $ q $ を用いて、リー代数コサイクルをシェルフコホモロジーに引き上げる。
• リーおよびケイクルコホモロジーにおける非コバウンダリーコサイクルがシェルフコホモロジーにおいても非コバウンダリーセットのまま残ることを示すことで、コホモロジーの非自明性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余代数における自己分配的演算を、Yang–Baxter方程式の解とどのように系統的に関連付けることができるか？
• RQ2 リー代数コホモロジー、ケイクルコホモロジー、および余代数圏における新しく定義されたシェルフコホモロジーの間の明確な関係は何か？
• RQ3 このコホモロジー理論は、自己分配的構造の変形に対する障害理論として機能できるか？
• RQ4 次元2および3において、非自明なリー代数またはケイクルコサイクルから生じる非自明なシェルフコホモロジー類は存在するか？
• RQ5 このコホモロジー理論は、高次元に拡張可能か、あるいはLie 2代数やZamolodchikovの四面体方程式に一般化可能か？

主な発見

• 余代数の圏における自己分配的構造のコホモロジー理論は、定理7.4–7.9により非自明であることが示された。
• 次元2および3における非自明なケイクルコサイクルは、同じ次元における非自明なシェルフコホモロジー類を誘導する。
• 例えば、$ H^2_{\text{Lie}}(W_p; \bbF_p) $ におけるVirasoroコサイクルは、$ H^2_{\text{sh}}(N(W_p'); N(W_p')) $ における非自明なシェルフコホモロジー類に引き上げられる。
• リー代数コサイクル $ \theta $ がコバウンダリでない限り、対応するシェルフコサイクル $ \tilde{\theta} $ もコバウンダリでない。これは定理7.9で証明された。
• このコホモロジー理論はホッフシュャイルドコホモロジーに類似しており、余代数圏における自己分配的演算の変形を研究するのにも用いることができる。
• 図式的計算によるシェルフコホモロジーの構成は、公理の整合性および低次元におけるコサイクル条件の妥当性を確認する。