[論文レビュー] Cohomology of Hom-Leibniz and $n$-ary Hom-Nambu-Lie superalgebras

El Kadri Abdaoui, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Takhtajanのアプローチをねじれおよび次数付き設定に一般化することで、Hom-Leibnizおよび$n$-準同型Nambu-Lie超代数のコホモロジー理論を開発する。$q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数（Hom型）を構成し、その微分作用素と第二コホモロジー群を計算することで、導来複体構造を通じて$n$-準同型Nambu-Lie超代数とHom-Leibniz超代数の間のコホモロジー的関係を確立する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the cohomology of Hom-Leibniz superalgebras. We construct the $q$-deformed Heisenberg-Virasoro superalgebra of Hom-type and provide as application the computations of the derivations and second cohomology group. Moreover, we extend to graded case the Takhtajan's construction of a cohomology of $n$-ary Hom-Nambu-Lie algebras starting from cohomology of Hom-Leibniz algebras.

研究の動機と目的

• 次数付き設定におけるHom-Leibniz超代数のコホモロジー理論の構築。
• Takhtajanによる$n$-準同型Nambu-Lieコホモロジーの構成を、Hom-Leibniz超代数コホモロジーから拡張すること。
• $q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数（Hom型）の微分作用素と第二コホモロジー群の計算。
• コホモロジー的手法を用いて、$n$-準同型Nambu-Lie超代数とHom-Leibniz超代数の間の構造的関係を確立すること。
• $n$-準同型Nambu恒等式およびそのコホモロジー的枠組みを、Homねじれおよび次数付き超代数的設定に一般化すること。

提案手法

• 偶数自己準同型$\alpha$を含む$\beta$-ねじれ超ジャコビ恒等式により、Hom-Leibniz超代数を定義する。
• 随伴写像$ad_x(y) = [x,y]$を用いて、Hom-Leibniz超代数の表現および微分作用素を導入する。
• $q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数を、Hom-Leibniz超代数の具体的な例として構成する。
• 多重線形コチェーンに作用する微分$\delta$を用いて、Hom-Leibniz超代数のコホモロジー複体を定義する。
• $n$-準同型Nambu恒等式をHomねじれケースに一般化し、$n$-準同型Nambu-Lie超代数のコホモロジーを定義する。
• Hom-Leibniz超代数コチェーンから$n$-準同型Nambu-Lie超代数コチェーンへのコチェーン写像$\Delta$を確立し、$d \circ \Delta = \Delta \circ \delta$を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数付き設定におけるHom-Leibniz超代数のコホモロジーはどのように定義できるか？
• RQ2 $q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数（Hom型）の第二コホモロジー群と微分作用素の構造は何か？
• RQ3 $n$-準同型Nambu-Lie超代数のコホモロジーは、Hom-Leibniz超代数のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 Takhtajanによる$n$-準同型コホモロジーの構成は、Homねじれおよび次数付きケースに一般化可能か？
• RQ5 コチェーン写像$\Delta$は、$n$-準同型Nambu-Lie超代数とHom-Leibniz超代数のコホモロジーを結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• $q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数（Hom型）は、Hom-Leibniz超代数の具体的な例として構成された。
• $q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数の微分作用素は、コホモロジー枠組みを用いて明示的に計算された。
• $q$-deformed Heisenberg-Virasoro超代数の第二コホモロジー群が計算され、中心拡大に関する情報を得た。
• 微分$\delta$が$\delta^2 = 0$を満たすことを用いて、$n$-準同型Nambu-Lie超代数のコホモロジー複体が定義された。
• 微分作用素$d$と$\delta$の関係$d \circ \Delta = \Delta \circ \delta$を満たすコチェーン写像$\Delta$が構成され、$n$-準同型Nambu-Lie超代数とHom-Leibniz超代数のコホモロジーを結ぶ。
• コホモロジー枠組みは、Takhtajanの構成を次数付きおよびHomねじれ設定に一般化し、$n$-準同型Nambu恒等式の構造を保ったまま拡張された。