[論文レビュー] Hom-Lie Superalgebras and Hom-Lie admissible Superalgebras

Faouzi Ammar, Abdenacer Makhlouf|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、自己準同型によって超ジャコビ恒等式が変形されるZ₂-次数付きHom-Lie代数の一般化として、Hom-Lie超代数を導入する。また、直交超シンプレクティック代数osp(1,2)を変形する1パラメータ族のHom-Lie超代数を構成する定理を確立し、Hartwig-Larsson-Silvestrovの定理のZ₂-次数付き版を証明することで、グラスマン変数を含むローレンツ多項式超代数上のσ微分を用いてq-変形Witt超代数を構成する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study Hom-Lie superalgebras, that is a superspace with a bracket for which the superJacobi identity is twisted by a homomorphism. This class is a particular case of $Γ$-graded quasi-Lie algebras introduced by Larsson and Silvestrov. In this paper, we characterize Hom-Lie admissible superalgebras and provide a construction theorem from which we derive a one parameter family of Hom-Lie superalgebras deforming the orthosymplectic Lie superalgebra. Also, we prove a $\mathbb{Z}_2$-graded version of a Hartwig-Larsson-Silvestrov Theorem which leads us to a construction of a q-deformed Witt superalgebra.

研究の動機と目的

• Z₂-次数付きHom-Lie代数の超類似体として、自己準同型で変形された超ジャコビ恒等式を持つHom-Lie超代数を定義・特徴づける。
• 超代数上のσ微分を用いたHom-Lie超代数の構成法を開発する。
• Hom-Lie適応超代数を一般化し、S₃の部分群Gに対してG-Hom-結合的超代数による分類を提示する。
• Hartwig-Larsson-Silvestrovの定理のZ₂-次数付き版を証明し、q-変形Witt超代数を構成する。
• グラスマン変数を含むローレンツ多項式超代数上の特定のσ微分を用いて、q-変形Witt超代数をHom-Lie超代数として実現する。

提案手法

• Hom-結合的超代数を定義し、その超交換子括弧がHom-Lie超代数を導くことを示す。
• 超代数A = C[t,t⁻¹] ⊕ θC[t,t⁻¹] 上のσ微分Δを導入し、σ(tⁿ) = qⁿtⁿおよびσ(θ) = qθを満たす。
• 生成元Xₙ = tⁿ·Δ（偶数次元）およびGₙ = θtⁿ·Δ（奇数次元）を持つHom-Lie超代数V = A·Δを構成し、σ括弧を[ Xₙ,Xₘ ]ₛ = ({m}−{n})Xₙ₊ₘおよび[ Xₙ,Gₘ ]ₛ = (qⁿ{m+1}−qᵐ⁺¹{n})Gₙ₊ₘで定義する。
• V上のねじれ写像αをα(Xₙ) = (1+qⁿ)Xₙおよびα(Gₙ) = (1+qⁿ⁺¹)Gₙで定義する。
• 一般化されたHartwig-Larsson-Silvestrovの定理を用いて、Δがσ微分であるとき括弧がねじれた超ジャコビ恒等式を満たすことを検証する。
• q数{ n } = (1−qⁿ)/(1−q)および{ n+m } = { n } + qⁿ{ m }の性質を用いて括弧関係を導出し、σ括弧およびα-ねじれに関して閉じていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超代数上のσ微分から、Hom-Lie超代数を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 Hartwig-Larsson-Silvestrovの定理のZ₂-次数付き類似体とは何か？また、それはどのようにしてq-変形Witt超代数の構成を可能にするか？
• RQ3 1パラメータ族のHom-Lie超代数を用いて、直交超シンプレクティック代数osp(1,2)を変形することは可能か？
• RQ4 Hom-Lie適応超代数の構造は何か？また、それらは非次数付きの場合をどのように一般化するか？
• RQ5 グラスマン変数を含むローレンツ多項式超代数上のσ微分は、どのようにしてq-変形Witt超代数を導くか？

主な発見

• 直交超シンプレクティック代数osp(1,2)を変形する1パラメータ族のHom-Lie超代数が、生成元XₙおよびGₙ上で定義されたねじれ写像αにより構成された。
• q-変形Witt超代数は、グラスマン変数θを含むローレンツ多項式超代数A上の超空間V = A·ΔにおけるHom-Lie超代数として実現された。
• 括弧関係が明示的に計算された：[Xₙ,Xₘ]ₛ = ({m}−{n})Xₙ₊ₘおよび[Xₙ,Gₘ]ₛ = (qⁿ{m+1}−qᵐ⁺¹{n})Gₙ₊ₘ、ねじれ写像はα(Xₙ) = (1+qⁿ)Xₙおよびα(Gₙ) = (1+qⁿ⁺¹)Gₙで与えられる。
• Δのσ微分性と一般化されたHartwig-Larsson-Silvestrovの定理により、Hom-超ジャコビ恒等式が満たされ、(V, [·,·]ₛ, α)がHom-Lie超代数であることが確認された。
• Hom-Lie適応超代数は、S₃の部分群Gに対してG-Hom-結合的超代数として特徴づけられ、非次数付きの場合の既存の分類を一般化する。
• 本研究は、Lie超代数のσ微分による体系的変形を可能にするZ₂-次数付きHartwig-Larsson-Silvestrov定理の一般化を提供する。