[論文レビュー] Cohomology of line bundles on compactified Jacobians

D. Arinkin|arXiv (Cornell University)|May 2, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平面的特異点をもつ整関数的射影的曲線 $C$ に対して、コンパクト化ジャコビアン $\overline{J}$ が自己双対性の形を満たすことを確立する。$\overline{J}$ 上の位相的に自明な線束は $C$ 上の線束と一対一対応し、$D^b(J)$ から $D^b(\overline{J})$ への導来フーリエ＝ムカイ変換は完全忠実である。主要な結果は、特異曲線への古典的ムカイ双対性公式の一般化である。

ABSTRACT

Let C be an integral projective curve with surficial singularities. We prove that topologically trivial line bundles on the compactified Jacobian of C are in one-to-one correspondence with line bundles on C (the autoduality conjecture), and compute the cohomology of the line bundles. We also show that the natural Fourier-Mukai functor between the derived categories of quasi-coherent sheaves on the Jacobian and on the compactified Jacobian is fully faithful.

研究の動機と目的

• 特異曲線 $C$ が平面的特異点をもつ場合のコンパクト化ジャコビアン $\overline{J}$ に対して、自己双対性の形を確立すること。
• $C$ から生じる線束を係数とする $\overline{J}$ のコホモロジーを計算すること。
• $J$ の導来圏から $\overline{J}$ の導来圏へのフーリエ＝ムカイ変換が完全忠実であることを示すこと。
• 古典的ムカイ双対性公式 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ を特異的場合に拡張すること。
• 結果をヒッティン・ファイブレーションおよびヒッグス束理論におけるスペクトル曲線に関連付けること。

提案手法

• $J \times \overline{J}$ 上のピオンカーレバンドル $P$ を用いて、フーリエ＝ムカイ変換 $\mathfrak{F}: D^b(J) \to D^b(\overline{J})$ を定義する。
• $J \times \overline{J}$ 上の導来押し出し $Rp_{1,*}(P)$ が $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ を満たすことを証明し、古典的公式を一般化する。
• 導来圏の形式的枠組みを用いて、フーリエ＝ムカイ変換が完全忠実であることを示す。
• $C$ が整関数的であり、平面的特異点をもつことにより $\overline{J}$ が既約的かつ良好に振る舞うことを保証する仮定に依拠する。
• ヒッグス束からのスペクトル曲線構成を用いて、$\overline{J}$ をヒッティン・ファイブレーションの纤维に関連付ける。
• 普遍族の相対コホモロジーを介して、$\overline{J}$ のコホモロジーと $H^1(C, \mathcal{O}_C)$ の外冪との間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ムカイ双対性公式 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ は、平面的特異点をもつ特異曲線のコンパクト化ジャコビアンへと拡張可能か？
• RQ2 $C$ が平面的特異点をもつ場合、$D^b(J)$ から $D^b(\overline{J})$ へのフーリエ＝ムカイ変換は完全忠実か？
• RQ3 $J \times \overline{J}$ 上のピオンカーレバンドルは、$\overline{J}$ 上の位相的に自明な線束の普遍族として機能できるか？
• RQ4 $\overline{J}$ 上の線束を係数とするコホモロジーは、$C$ のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 これらの結果は、ヒッティン・ファイブレーションおよびヒッグス束のスペクトル曲線へどの程度一般化可能か？

主な発見

• $J \times \overline{J}$ 上の導来押し出し $Rp_{1,*}P$ は $\mathcal{O}_\zeta[-g]$ に同型であり、古典的ムカイ公式を特異曲線へ一般化する。
• $P$ を用いて定義されるフーリエ＝ムカイ変換 $\mathfrak{F}: D^b(J) \to D^b(\overline{J})$ は完全忠実である。
• $\overline{J}$ 上の位相的に自明な線束は $C$ 上の線束と一対一対応し、$\overline{J}$ に対する自己双対性を確立する。
• $\overline{J}$ 上の線束係数におけるコホモロジーは $H^i(\overline{J}, \mathcal{O}_{\overline{J}}) \simeq \bigwedge^i H^1(C, \mathcal{O}_C)$ を満たす。
• 結果はヒッティン・ファイブレーションと整合する：整関数的スペクトル曲線 $C$ に対して、相対コホモロジー $R^i h_* \mathcal{O}_{\mathcal{H}iggs}$ は $\Omega^i_{{\mathcal{SC}urves}^\prime}$ に同型である。
• 同型 $R^i h_* \mathcal{O}_{\mathcal{H}iggs} \simeq \Omega^i_{{\mathcal{SC}urves}}$ は、すべてのスペクトル曲線へ拡張可能であり、Frenkel と Teleman によって示された。この同型は、本稿の結果の一部を再構成するのに利用可能である。