[論文レビュー] Cohomology of the Orlik-Solomon algebras and local systems

Anatoly Libgober, Sergey Yuzvinsky|ArXiv.org|Jun 24, 1998

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面における直線配置の補集合上での局所系の1次コホモロジーが、自明な特徴指標を含む正次元の既約成分を持つ条件を決定する組み合わせ論的および代数幾何学的手法を確立する。この問題はVinberg-Kac分類を介して一般化カルタン行列と結びつけられ、このような成分が代数的曲線の線型系に対応することを示し、配置の分類結果および特徴多様体が大きなものを有する配置に対する境界を得る。

ABSTRACT

The paper provides a combinatorial method to decide when the space of local systems with non vanishing first cohomology on the complement to an arrangement of lines in a complex projective plane has as an irreducible component a subgroup of positive dimension. Partial classification of arrangements having such a component of positive dimension and a comparison theorem for cohomology of Orlik-Solomon algebra and cohomology of local systems are given. The methods are based on Vinberg-Kac classification of generalized Cartan matrices and study of pencils of algebraic curves defined by mentioned positive dimensional components.

研究の動機と目的

• 直線配置の補集合上での局所系の1次コホモロジーが、自明な特徴指標を含む正次元の既約成分を持つ条件を特定すること。
• このコホモロジー不変量を交差ラティスの組み合わせ論および代数的曲線の線型系の幾何学と結びつけること。
• 一般化カルタン行列のVinberg-Kac分類を用いて、特徴多様体にこのような正次元成分を有する配置を分類すること。
• オルリック＝ソロモン代数の捩れた係数に関するコホモロジーと局所系のコホモロジーとの間の比較を確立し、p=1のときの予想を証明すること。

提案手法

• 2次元フラットXのインシデント行列Jを用い、∑_{H_i ⊃ X} a_i = 0を満たすように定義し、Q = J^t J − E（Eはすべての成分が1の行列）で対称行列Qを定義する。
• 行列Qに対してVinberg-Kacによる一般化カルタン行列の分類を適用し、核空間を解析し、R₁の成分を特徴付ける。
• Qの核空間を、微分乗法がaによる作用を施したオルリック＝ソロモン代数の1次コホモロジーH¹(A,a)と関連付ける。
• 特徴多様体の正次元成分Sから、複素射影平面の複数点における吹き上げを用いて代数的曲線の線型系を構成する。
• 吹き上げ表面のオイラー標跡およびファイブレーションのデータを用いて、配置における各グループの直線数に対する境界を導出する。
• ザリスキの連結性定理およびベルティーニの定理を適用し、一般ファイバーが滑らかで、ファイブレーション構造が適切に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影平面ℙ²における直線配置の補集合の特徴多様体が、自明な特徴指標を含む正次元の既約成分を有するのはいつか？
• RQ2 交差ラティスおよび一般化カルタン行列を用いて、そのような成分の構造をどのように組み合わせ論的に特徴付けることができるか？
• RQ3 特徴多様体の正次元成分の背後にある幾何的構造（例：曲線の線型系）は何か？
• RQ4 局所系ℒ(a)に関するコホモロジーH¹(M,ℒ(a))が、捩れた係数を施したオルリック＝ソロソン代数のコホモロジーH¹(A,a)に等しくなる条件は何か？
• RQ5 R₁の次元が与えられ、複数点の重複度が有界である場合に、配置の直線数にどのような境界を置けるか？

主な発見

• R₁の既約成分の集合は、2次元フラットのインシデント構造から導かれる行列Qの核空間と1対1に対応する。
• R₁の異なる成分は原点以外で交わらないため、特徴多様体が線形部分空間への明確な分解を持つことが示される。
• dim R₁ > 0を満たす配置に対して、その配置が線型系の特異ファイバーの和集合であるような代数的曲線の線型系が存在する。
• 特異ファイバーへの分解における各グループの直線数は、F(r,k) ≤ 2k + 1で有界であり、ここでr = dim R₁、kは1本の直線に含まれる最大の複数点数である。
• 一般位置にあるk個の等しい直線ブロックを持ち、各直線がn個の複数点を含む配置に対して、k ≤ 5であるが、n = 2または3のときは除く。
• Falkらの予想の強い形である、dim H¹(M,ℒ(a)) = sup_N dim H¹(A*, a + N) がp = 1およびa ∈ R₁のとき成立し、その予想が証明された。