[論文レビュー] Cohomology rings and formality properties of nilpotent groups

Anca Măcinic|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分的最小モデルを用いて、可解群におけるk-形式性を導入し、その共振多様体とコホモロジー環の構造を関連付ける。k-形式的で有限生成な可解群は、次数kまでで共振多様体が自明であり、次数k+1まででコホモロジーが次数1で生成されることを証明する。2段階可解群の場合、これは必要十分条件である。本稿では、ヘイゼンベルク型群のこれらの不変量を計算し、シンプレクティックランクが2mであるとき、(m−1)-形式的ではあるがm-形式的ではないことを示す。

ABSTRACT

We introduce partial formality and relate resonance with partial formality properties. For instance, we show that for finitely generated nilpotent groups that are k-formal, the resonance varieties are trivial up to degree k. We also show that the cohomology ring of a nilpotent k-formal group is generated in degree 1, up to degree k+1; this criterion is necessary and sufficient for 2-step nilpotent groups to be k-formal. We compute resonance varieties for Heisenberg-type groups and deduce the degree of partial formality for this class of groups.

研究の動機と目的

• 部分的最小モデルを用いて、古典的形式性の概念を拡張する形で、可解群におけるk-形式性を定義し、研究すること。
• k-形式性をコホモロジー環および共振多様体の構造に関連付けること、特に有限生成可解群の文脈において。
• ヘイゼンベルク型群の部分形式性の度合いを、共振多様体およびコホモロジー環の生成元の明示的計算により特定すること。
• 特に2段階可解群に対して、共振およびコホモロジー生成の観点から形式性の障害を提供すること。
• 特定のヘイゼンベルク型群が、高次のホモトピー群が自明な滑らかな複素射影多様体の基本群にはなり得ないことを示すことにより、射影群に関するセールの問題に取り組む。

提案手法

• k-最小モデルを用いてk-形式性を定義し、全最小モデルではなく有限データを用いて、次数k+1までで形式性をテストする。
• 特徴値0の体上の最小モデル理論および微分付き代数（DGA）を用いて、有理ホモトピー型を分析する。
• クネンプの公式およびテンソル積の分解を用いて、代数のテンソル積の共振多様体を計算する。
• 共振多様体の定義を用いる：𝒢₁ⁱ(G) ⊆ H¹(G, 𝕜) は、次数iにおいて乗法作用が非自明なコホモロジーを持つようなコホモロジー類ξの集合である。
• ヘイゼンベルク型群の最小モデルを𝒜 = ⋀(t₁,…,tₙ) ⊗ ⋀(z) と表記し、d(z) = ω ∈ ⋀²(t₁,…,tₙ) かつ ω が x₁y₁ + ⋯ + xₘyₘ の標準形にあるものとする。
• 𝒜 ≅ ℋₘ ⊗ ⋀(t₂ₘ₊₁,…,tₙ) の分解を用い、命題5.7により共振を計算する：𝒮₁ⁱ(𝒜) = ⋃_{p+q=i} 𝒮₁ᵖ(ℋₘ) × 𝒮₁^{q}(⋀(t₂ₘ₊₁,…,tₙ))。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成可解群のコホモロジー環の構造とk-形式性の関係は何か？
• RQ2 共振多様体は可解群の形式性特性をどのように制約するか？
• RQ3 与えられたヘイゼンベルク型群がどのkに対してk-形式的であるか、そして部分形式性の正確な度合いは何か？
• RQ4 k-形式性は、次数k+1まででコホモロジーが次数1で生成されることによって、代数的に特徴付けられるか？
• RQ5 どのような可解群が、滑らかな複素射影多様体の基本群として現れ得るか。また、それらにどのような障害があるか？

主な発見

• 有限生成k-形式的可解群では、コホモロジー環 H^{≤k+1}(G) が H¹(G) によって生成されることが保証され、強い代数的制約が得られる。
• 2段階可解群では、k-形式性は、コホモロジー環が次数1で生成される（次数k+1まで）ことと同値である。
• Gがk-形式的であるならば、すべてのi ≤ kに対して共振多様体 𝒮₁ⁱ(G) は自明（すなわち{0}）である。これは形式性に対するコホモロジー的障害を提供する。
• シンプレクティックランクが2mであるヘイゼンベルク型群では、i ≤ m−1 に対して共振多様体 𝒮₁ⁱ(G) は自明であり、i = m では 𝕜²ᵐ に等しい。
• シンプレクティックランクが2mであるヘイゼンベルク型群は、(m−1)-形式的ではあるがm-形式的ではない。これにより、部分形式性の正確な度合いが特定される。
• このような群は、π_{≤m}(M̃) = 0 を満たす滑らかな複素射影多様体Mの基本群にはなり得ない。これは、Mがm-形式的であるのに対し、群は非m-形式的であるという矛盾による。