[論文レビュー] Formality, Alexander invariants, and a question of Serre

Alexandru Dimca, Ştefan Papadima+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 55被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、1-形式的群の特徴的多様体および共鳴多様体——特に、そのコhomologyジャンピング・ローカス——の深い関係を確立する。具体的には、単位元における第一特徴的多様体の接錐が第一共鳴多様体に等しいことを証明する。形式的性とアレクサンドル不変量の構造を用いて、1-形式性への新たな障害、および有限生成群が滑らかで複素の準射影的多様体の基本群として実現可能かどうかの新たな障害を導出する。

ABSTRACT

We elucidate the key role played by formality in the theory of characteristic and resonance varieties. We show that the I-adic completion of the Alexander invariant of a 1-formal group G is determined solely by the cup-product map in low degrees. It follows that the germs at the origin of the characteristic and resonance varieties of G are analytically isomorphic; in particular, the tangent cone to V_k(G) at 1 equals R_k(G). This provides new obstructions to 1-formality. A detailed analysis of the irreducible components of the tangent cone at 1 to the first characteristic variety yields powerful obstructions to realizing a finitely presented group as the fundamental group of a smooth, complex quasi-projective algebraic variety. This sheds new light on a classical problem of J.-P. Serre. Applications to arrangements, configuration spaces, coproducts of groups, and Artin groups are given.

研究の動機と目的

• 有限生成群の特徴的多様体および共鳴多様体の構造における形式的性の役割を明確化すること。
• 1-形式的群において、原点における特徴的多様体と共鳴多様体の解析的芽同士の同型を確立すること。
• 第一特徴的多様体の接錐を用いて、1-形式性への新たな障害を導出すること。
• 滑らかで複素の準射影的多様体の基本群として現れる有限生成群はどのようなものかというセールの古典的問題に取り組むこと。
• 配置、配置空間、直積、アーティン群に対して理論を応用し、新たな実現可能性の障害を導出すること。

提案手法

• リー代数構造における2次関係を用いて、マルツェフ完備化とホロノミー代数を定義し、1-形式性を定義する。
• ホロノミー代数を介して、アレクサンドル不変量の $I$-adic 完備化と低次のカップ積写像を関連付ける。
• 指数写像を用いて、原点における共鳴多様体と特徴的多様体の解析的芽の間の同型を確立する。
• 1-形式的群において、$\mathcal{V}_k(G)$ の1における接錐が $\mathcal{R}_k(G)$ に等しいことを特徴づける。
• 接錐の既約成分を解析することで、準射影的実現可能性の障害を検出する。
• ラベル付きグラフの奇数収縮構成を用いて、アーティン群を自由群の直積と関連づけ、カップ積写像の等方的条件をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的性は、1次において特徴的多様体および共鳴多様体の構造にどのように制約を加えるか？
• RQ2 第一特徴的多様体の1における接錐が、原点において第一共鳴多様体と解析的に同型となる条件は何か？
• RQ3 第一共鳴多様体 $\mathcal{R}_1(G)$ が正次元の0-等方的既約成分を含む場合、有限生成群 $G$ が滑らかで複素の準射影的多様体の基本群として実現可能でないという構造的障害は何か？
• RQ4 どのアーティン群が滑らかで複素の準射影的多様体の基本群として現れるか、そしてその同定はどのように可能か？
• RQ5 1-形式的群のコhomologyにおけるカップ積写像が、どのような条件下で、ケーラーまたは準ケーラー群として実現不可能なように等方的になるか？

主な発見

• 任意の1-形式的群 $G$ に対して、第一特徴的多様体 $\mathcal{V}_1(G)$ の1における接錐は第一共鳴多様体 $\mathcal{R}_1(G)$ に等しく、すなわち $TC_1(\mathcal{V}_1(G)) = \mathcal{R}_1(G)$ が成り立つ。
• 指数写像は、原点における共鳴多様体 $\mathcal{R}_k(G)$ と、単位元における特徴的多様体 $\mathcal{V}_k(G)$ の解析的芽の間の同型を誘導する。
• 1-形式的群のアレクサンドル不変量の $I$-adic 完備化は、2次においてカップ積写像によって完全に決定される。
• 有限生成群 $G$ が滑らかで複素の準射影的多様体の基本群として実現可能でないのは、第一共鳴多様体 $\mathcal{R}_1(G)$ が正次元の0-等方的既約成分を含む場合に限る。
• 右側アングル付きアーティン群 $G_\Gamma$ に対して、$G_\Gamma$ がケーラー群であるための必要十分条件は、$\Gamma$ が偶数個の頂点を持つ完全グラフであること、すなわち $G_\Gamma \cong \mathbb{Z}^{2n}$ であることである。
• アーティン群 $G_\Gamma$ が準ケーラー群のマルツェフリー代数とフィルター同型であるための必要十分条件は、その奇数収縮 $\tilde{\Gamma}$ が完全マルチ部グラフであることである。