[論文レビュー] Cohomology with local coefficients of solvmanifolds and Morse-Novikov theory

Dmitri V. Millionschikov|ArXiv.org|Mar 7, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全可解リー群 $ G $ に対して、コンパクトなソルブマンフォールド $ G/\Gamma $ の局所係数を用いたコホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ が、リー代数コホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ に同型であることを確立している。このコホモロジーが非自明であるのは、$ -\lambda[\omega] $ が有限かつ明示的に定義された部分集合 $ \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} \subset H^1(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ に属する場合に限る。この結果は、モース＝ノヴィコフ理論をソルブマンフォールドへ拡張し、リー代数の構造に基づいて非自明コホモロジーの完全な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We study the cohomology $H^*_{λω}(G/Γ, {\mathbb C})$ of the deRham complex $Λ^*(G/Γ)\otimes{\mathbb C}$ of a compact solvmanifold $G/Γ$ with a deformed differential $d_{λω}=d + λω$, where $ω$ is a closed 1-form. This cohomology naturally arises in the Morse-Novikov theory. We show that for a solvable Lie group $G$ with a completely solvable Lie algebra $\mathfrak{g}$ and a cocompact lattice $Γ\subset G$ the cohomology $H^*_{λω}(G/Γ, {\mathbb C})$ coincides with the cohomology $H^*_{λω}(\mathfrak{g})$ of the Lie algebra $\mathfrak{g}$ associated with the one-dimensional representation $ρ_{λω}: \mathfrak{g} o {\mathbb K}, ρ_{λω}(ξ) = λω(ξ)$. Moreover $H^*_{λω}(G/Γ, {\mathbb C})$ is non-trivial if and only if $-λ[ω]$ belongs to the finite subset $\{0\} \cup ilde Ω_{\mathfrak{g}}$ in $H^1(G/Γ, {\mathbb C})$ well defined in terms of $\mathfrak{g}$.

研究の動機と目的

• deformed de Rham微分 $ d + \lambda\omega $ の下での局所係数を用いたコホモロジーの解析を通じて、モース＝ノヴィコフ理論をコンパクトなソルブマンフォールドへ拡張すること。
• 完全可解な $ G $ を持つソルブマンフォールド $ G/\Gamma $ に対して、$ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ が非自明である条件を特定すること。
• $ \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} \subset H^1(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ という有限集合をリー代数 $ \mathfrak{g} $ の言いかで特徴づけ、非自明コホモロジーが $ -\lambda[\omega] \in \{0\} \cup \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} $ のときに限り発生することを示すこと。
• 元来のノルマンフォールドに関する結果（$ \lambda\omega \neq 0 $ のときコホモロジーが消える）を、より広いクラスのソルブマンフォールドへ一般化すること。

提案手法

• ハトリの定理を用いて、$ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ と、一様表現 $ \rho_{\lambda\omega}(\xi) = \lambda\omega(\xi) $ に関するリー代数コホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ の同型を確立する。
• 特定の微分則を持つ最小モデル $ (\Lambda^*(\omega_1, \dots, \omega_n), d) $ を用いて、$ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ へ収束するスペクトル系列 $ E_r $ を構成する。
• リー代数 $ \mathfrak{g} $ の $ [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] $ への随伴表現の重み $ \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n $ を用いて、$ \Omega_{\mathfrak{g}} \subset H^1(\mathfrak{g}) $ を定義し、これによりコホモロジーの消滅性を特定する。
• 完全可解な場合における $ \Gamma $-適応表現に関するモストウの定理を適用し、多様体とリー代数のコホモロジーの同型を正当化する。
• $ \omega $ が $ G $ 上の左不変1次形式に引き上げられることを用い、$ G $ 内の経路に沿った積分により表現 $ \rho_{\lambda\omega} $ を定義可能であることを示す。
• スペクトル系列 $ E_r $ が $ -\lambda\omega \notin \Omega_{\mathfrak{g}} $ のとき $ E_1 $ で退化することを示し、その場合に非自明コホモロジーが発生しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ \lambda $ 値と閉1次形式 $ \omega $ に対して、コンパクトなソルブマンフォールド $ G/\Gamma $ 上でコホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ が非自明になるか？
• RQ2 完全可解な $ G $ に対して、$ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ とリー代数コホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ の関係は何か？
• RQ3 非自明コホモロジーを特徴付ける正確な有限部分集合 $ \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} \subset H^1(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ は、リー代数 $ \mathfrak{g} $ の言いかでどのように定義されるか？
• RQ4 アラニアのノルマンフォールドに関する消滅定理が、ソルブマンフォールドへ一般化可能か？ もし可能であれば、非自明コホモロジーが発生する条件は何か？
• RQ5 リー代数 $ \mathfrak{g} $ の最小モデルに関連するスペクトル系列 $ E_r $ を用いて $ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ を計算可能か？ また、いつ $ E_1 $ で退化するか？

主な発見

• 完全可解なリー群 $ G $ を持つコンパクトなソルブマンフォールド $ G/\Gamma $ に対して、局所係数を用いたコホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ は、ハトリの定理によりリー代数コホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ に同型である。
• 非自明コホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ が発生するのは、$ -\lambda[\omega] \in \{0\} \cup \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} $ のときであり、ここで $ \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} $ は $ [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] $ 上の随伴表現の重みによって定義される $ H^1(G/\Gamma, \mathbb{C}) $ の有限部分集合である。
• Lie代数 $ \mathfrak{g}_0 $ が $ [e_1,e_2] = e_2, [e_1,e_3] = -e_3 $ で定義される3次元ソルブマンフォールド $ G_0/\Gamma $ に対して、コホモロジー $ H^*_{\lambda\omega}(G_0/\Gamma, \mathbb{C}) $ は $ \lambda\omega = 0, \pm \omega_1 $ のみで非自明であり、非ゼロの場合のベッチ数は $ b^1 = b^2 = 1 $、$ b^0 = b^3 = 0 $ である。
• $ H^*_{\lambda\omega}(\mathfrak{g}) $ へ収束するスペクトル系列 $ E_r $ は、$ -\lambda\omega \notin \Omega_{\mathfrak{g}} $ のとき $ E_1 $ で退化し、その場合に非自明コホモロジーが発生しないことを示す。
• アラニアのノルマンフォールドに関する消滅定理を一般化する：ノルマンフォールドでは $ \lambda\omega \neq 0 $ のとき $ H^*_{\lambda\omega}(M_n, \mathbb{C}) = 0 $ となるが、これは今やより広いクラスのソルブマンフォールドにおける結果の特殊ケースとして理解される。
• $ \tilde{\Omega}_{\mathfrak{g}} $ はリー代数の構造定数、特に微分 $ d\omega_j = \alpha_j \wedge \omega_j + P_j(\omega_1, \dots, \omega_{j-1}) $ における形式 $ \alpha_j $ によって明示的に定義され、$ \lambda $ とは無関係に定まる。