[論文レビュー] Coincidences of homological densities, predicted by arithmetic

Benson Farb, Jesse Wolfson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は多様体上の0次元サイクル空間におけるホモロジカル密度の概念を導入し、異なる構成における極限ペインカーポリノミアル比の一致を予測する。算術的類似性と Björner-Wachs の辞書的シェラブル性を用いて、$mn$ が固定されているとき、位相的に異なる構成に対してもこれらの極限密度が一致することを証明し、コhomologyの消滅条件の下ですべてのケースについて明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

Motivated by analogies with basic density theorems in analytic number theory, we introduce a notion (and variations) of the homological density of one space in another. We use Weil's number field/ function field analogy to predict coincidences for limiting homological densities of various sequences $\mathcal{Z}^{(d_1,\ldots,d_m)}_n(X)$ of spaces of $0$-cycles on manifolds $X$. The main theorem in this paper is that these topological predictions, which seem strange from a purely topological viewpoint, are indeed true. The obstacle to proving such a theorem with current technology is how to deal with the combinatorial complexity of all possible "collisions" of points, this problem does not arise in the simplest (and classical) case $(m,n)=(1,2)$ of configuration spaces. To overcome this obstacle we develop a method that uses the Björner--Wachs theory of lexicographic shellability from algebraic combinatorics to study such problems. As a consequence we derive new homological stability theorems for broad classes of $0$-cycles on manifolds. Even in the classical case $(m,n)=(1,2)$ this gives a new, simplified proof of classical results, and also of recent theorems of Church and others.

研究の動機と目的

• 数論における算術的密度の位相的類似物としてホモロジカル密度の概念を動機づける。
• 算術的類似性を用いて、多様体上の0次元サイクル構成の極限ホモロジカル密度が $m$ や $n$ それぞれに依存せず、$mn$ のみに依存することを予測する。
• コhomologyの消滅条件を満たす多様体に対して、これらの予測された一致が成り立つことを証明する。
• 対称積における点の重なりの複雑さを扱うために、辞書的シェラブル性を用いた組合せ的枠組みを構築する。
• すべての $\vec{d}$ に対して $Z_{\vec{d}}^n(X)$ と $\mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)$ のペインカーポリノミアルの明示的公式を確立し、極限密度の計算を可能にする。

提案手法

• ホモロジカル密度を $t$-adic 位相におけるペインカーポリノミアルの比 $P_{Z_{\vec{d}}^n(X)}(t) / P_{\mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)}(t)$ として定義する。
• ウェイユ予想と数体類似性を用いて、極限密度が $m$ や $n$ に個別に依存せず $mn$ のみに依存することを予測する。
• Björner-Wachs の辞書的シェラブル性理論を適用し、対称積における点の重なりに起因する組合せ的複雑性を解消する。
• スペクトル系列と等長コhomologyを用いて、包含写像 $Z_{\vec{d}}^n(X) \hookrightarrow \mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)$ の Leray スペクトル系列の $E_2$-項を計算する。
• フロベニウスの随伴性と Künneth 同型を用いて、$X$ の積上の対称群作用の不変量を計算する。
• $\dim X$ と $mn$ に依存する、係数がねじれたコhomologyである対称冪の形で $E_2$-ページの明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数論における算術的類似性は、0次元サイクル空間のホモロジカル密度における位相的一致を予測できるか？
• RQ2 $Z_{\vec{d}}^n(X)$ の極限ホモロジカル密度は、$m$ や $n$ の個別値に依存せず、$mn$ のみに依存するか？
• RQ3 一般の $m,n$ に対して $Z_{\vec{d}}^n(X)$ の有理コhomologyの正確な構造は何か？ また、$\mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)$ とどのように関係するか？
• RQ4 対称積における点の重なりに起因する組合せ的複雑性は、コhomology的計算においてどのように体系的に解消できるか？
• RQ5 包含写像 $Z_{\vec{d}}^n(X) \hookrightarrow \mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)$ が有理コhomologyに同型を誘導するのはどのような条件下か？

主な発見

• すべての $m,n$ に対して、$mn \geq k$ であるとき、$k$ はコンパクト台付きクラスのカップ積の消滅閾値であるが、極限ホモロジカル密度比 $\lim_{\vec{d} \to \infty} P_{Z_{\vec{d}}^n(X)}(t) / P_{\mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)}(t)$ は $t$-adic 位相で存在する。
• もし $mn = 2$ であれば、順序なしの異なる点（$m=1,n=2$）の極限密度比は、両方の色が同じ位置に現れない2色構成（$m=2,n=1$）のそれと等しく、両者とも $1 + t + t^2 + \cdots$ を与える。
• 次元 $2r+1 \geq 3$ の奇数次元多様体に対しては、包含写像 $Z_{\vec{d}}^n(X) \hookrightarrow \mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)$ が有理コhomologyに同型を誘導するため、極限密度は正確に 1 である。
• $Z_{\vec{d}}^n(X) \to \mathrm{Sym}_{\vec{d}}(X)$ の Leray スペクトル系列の $E_2$-ページは、単位元とサイズ $mn$ のブロックへの分割の和として明示的に計算され、ねじれたコhomologyを係数に持つ。
• $E_2$-ページの明示的公式は、$X$ が偶数次元のとき、有理コhomology $H^\bullet(X; \mathbb{Q})$ の対称冪を、次数 $(0, 2r(mn-1)-1)$ の階数付き層の係数として表し、奇数次元 $X$ に対しては自明である。
• 複素数体上の滑らかなアフィン代数的多様体に対しては、スペクトル系列における重みが算術的に予測されたものと一致し、コhomology的構造における算術的・幾何的双対性が確認される。