[論文レビュー] Colimits of representable algebra-valued functors

George M. Bergman|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数の多様体から別の多様体への表現可能関手の圏が小さな余極限を備え、特定の状況ではそれらを表す余代数の構成が明示的に行えることを確立している。主な貢献は、初期の表現可能関手の存在を示したことである。これは、元の多様体と先験的多様体の両方がゼロアリティ演算子を全く持たないか、もしくはそれらよりも多くの導出されたゼロアリティ演算子を持つ場合にのみ非自明となる。この場合、特に豊かな構造的性質が現れる。

ABSTRACT

If C and D are varieties of algebras in the sense of general algebra, then by a representable functor C --> D we understand a functor which, when composed with the forgetful functor D --> Set, gives a representable functor in the classical sense; Freyd showed that these functors are determined by D-coalgebra objects of C. Let Rep(C,D) denote the category of all such functors, a full subcategory of Cat(C,D), opposite to the category of D-coalgebras in C. It is proved that Rep(C,D) has small colimits, and in certain situations, explicit constructions for the representing coalgebras are obtained. In particular, Rep(C,D) always has an initial object. This is shown to be "trivial" unless C and D either both have_no_ zeroary operations, or both have _more_than_one_ derived zeroary operation. In those two cases, the functors in question may have surprisingly opulent structures. It is also shown that every set-valued representable functor on C admits a universal morphism to a D-valued representable functor. Several examples are worked out in detail, and areas for further investigation noted.

研究の動機と目的

• 代数の多様体間の表現可能関手の圏における余極限の存在と構造を調査すること。
• 初期の表現可能関手が非自明となる条件、特に元の多様体と先験的多様体におけるゼロアリティ演算子との関係を特定すること。
• モノイド、群、環などの特定のケースにおいて、余極限を表す余代数の明示的構成を提供すること。
• 任意の集合値表現可能関手が、与えられた多様体 D に対する D-値表現可能関手へ普遍的な準同型をもつことを示すこと。
• 表現可能関手の圏の構造的性質、例えば非同型なモノイド的・エピックな準同型や非単射な等化子の調査。

提案手法

• 表現可能関手と元の多様体における余代数との双対性を用い、表現可能関手の圏が C における D-余代数の圏の反対圏と同値であることを示す。
• 余代数の圏における余極限に関する一般的圏論的結果を適用し、余代数の圏における余極限が双対圏における極限に一致することを活用する。
• 項代数と恒等式を用いて多様体を定義し、小規模性を保証するため、固定された正則無限基数をアリティの上限として用いる。
• 特にモノイドや環のケースにおいて、自由代数と商構成を用いた普遍的性質を通じて余極限の明示的表現を構成する。
• 自由モノイド、群、アーベル群上のテンソル環などの具体例を分析し、非同型なモノイド的・エピックな写像や非単射な等化子といった構造的現象を示す。
• 既知の文献結果（例：[9], [6]）に依拠し、余代数を二部グラフで特徴づけ、準同型の性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの代数の多様体間の初期表現可能関手が自明でなくなるのはどのような場合か？
• RQ2 多様体 C と D にどのような条件が課されると、表現可能関手の余極限を表す余代数を明示的に構成できるか？
• RQ3 任意の集合値表現可能関手が、与えられた多様体 D に対して D-値表現可能関手へ普遍的に写像可能か？
• RQ4 表現可能関手の圏において、例えばモノイド的・エピックな準同型が同型でないような構造的現象はどのようなものか？
• RQ5 表現可能関手と余代数の間の双対性において、単射性や等化子の性質はどのように振る舞うか？

主な発見

• C から D への表現可能関手の圏は小さな余極限を備え、それらは C における余代数によって表される。
• 初期の表現可能関手は、C と D がいずれもゼロアリティ演算子を全く持たないか、もしくはそれらよりも多くの導出されたゼロアリティ演算子を持つ場合にのみ非自明である。
• 非自明な場合、表現可能関手は驚くほど豊かで複雑な構造を示すことがある。
• 自由モノイド、群、アーベル群上のテンソル環といった重要な例について、それらを表す余代数の明示的構成が得られた。
• モノイド的かつエピックではあるが同型でない余代数の準同型が存在し、余代数の圏における非自明な振る舞いを示している。
• C における D-余代数の圏における等化子は、アーベル群の圏における等化子であっても、元の集合上で単射でないことがある。