[論文レビュー] Collapsed Riemannian Manifolds with Bounded Sectional Curvature

Xiaochun Rongt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有界な断面曲率を持つ多様体におけるリーマン幾何学における崩壊理論の発展をサーベイし、十分に小さい e に対して e-崩壊多様体がほぼ平坦な繊維を持つ特異なファイブレーション構造をもつことを確立している。主な貢献は、ファイブレーションを用いた崩壊多様体の構造的特徴付けであり、特に非正曲率および正にピンチされた設定において、深い幾何学的・位相的制約を明らかにしている。

ABSTRACT

One of the most important developments in Riemannian geometry over the last two decades is the structure theory of Cheeger-Fukay a-Gromov, for Mn of bounded sectional curvature, say |KM»| e _1. For ex­ ample, a very thin cylinder is very collapsed (although its curvature vanishes identically). If one fixes e and in addition, a bound, d, on the diameter, then in each dimension, there are only finitely many manifolds, which are not e-collapsed. The basic result of collapsing theory states the existence of a constant, e(n) > 0, such that a manifold which is e-collapsed, for e < e(n), has a particular kind of singular fibration structure with (or almost flat ) fibers. The fibers lie in the e-collapsed directions. The first nontrivial collapsing with bounded curvature, arose in a se­ quence of metrics on the 3-sphere constructed by M. Berger. The first major result on the collapsed (still a corner stone of the theory) is M. Gromov's description of almost manifolds i.e. admitting a se­ quence of metrics with curvature and diameter going to zero. Gromov showed that such are infranilmanifolds. We will survey the main development of the collapsing theory and its applications to Riemannian geometry since 1990. The common starting point is the existence of the above mentioned singular fibration structure. Many new geometrical and topological constraints of collapsed metrics have been discovered that are accompanied with new ideas and techniques as well as tools from related fields, and light has been shed on some classical problems and conjectures, which do not, on the face of it, involve collapsing. Substantial progress has been made on with non-positive curvature, on positively pinched manifolds, collapsed with an a priori diameter bound, and subclasses whose members satisfy additional topological conditions e.g. 2connectedness.

研究の動機と目的

• 1990 年以降、有界な断面曲率をもつリーマン多様体の崩壊理論における主要な進展を体系的かつ要約すること。
• e が次元に依存する閾値 e(n) より小さい場合の、e-崩壊多様体における特異的ファイブレーションの構造的役割を明確にすること。
• 崩壊理論が非正曲率、正の曲率ピンチ、および 2-連結性などの追加の位相的条件をもつ多様体において、新しい幾何学的・位相的制約をどのように明らかにするかを探索すること。
• 崩壊を直接含まない古典的なリーマン幾何学の問題と崩壊現象を結びつけることにより、理論の適用範囲を広げること。

提案手法

• e < e(n) の場合に e-崩壊多様体が、崩壊方向に対応するほぼ平坦な繊維を持つ特異的ファイブレーションをもつという基礎的結果を利用する。
• Gromov–Hausdorff 収束を用いて、崩壊列の極限空間を解析するための、距離幾何学の技術を適用する。
• Gromov のほぼ平坦多様体の理論を核として用いる。特に、ほぼ平坦多様体が infranil 多様体として特徴づけられることに注目する。
• 直径の上限のもとで、非正曲率および正にピンチされた多様体のクラスに属する崩壊列を分析する。
• 幾何的群論および可解群の作用の道具を用いて、繊維の構造とそのホロノミーを理解する。
• 2-連結性などの追加の位相的制約をもつ崩壊多様体の部分クラスを検討し、より強い構造的結論を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な断面曲率をもつ e-崩壊リーマン多様体に現れる正確なファイブレーション構造は何か？
• RQ2 このようなファイブレーションの存在が、崩壊多様体の位相的および幾何学的性質にどのような制約をもたらすか？
• RQ3 崩壊理論は、崩壊を直接含まない古典的なリーマン幾何学の予想に、どのように光を当てるか？
• RQ4 非正曲率または 2-連結性などの追加仮定のもとで、崩壊多様体にどのような構造的性質が現れるか？
• RQ5 直径の上限と曲率の上限が、固定次元における有限個の可能な位相型にどのように影響するか？

主な発見

• 各次元 n に対して、e < e(n) かつ直径が d 未満である e-崩壊多様体の微分同相型は有限個に限られる。
• |KM| ≤ 1 を満たす e-崩壊多様体は、崩壊方向に対応するほぼ平坦な繊維を持つ特異的ファイブレーションをもつ。
• 有界曲率をもつ崩壊の最初の非自明な例は、M. ベルジャーによって構成された 3-球面上の計量列から生じる。
• Gromov がほぼ平坦多様体が infranil 多様体であるという結果は、崩壊理論の基盤的柱のままである。
• 非正曲率をもつ崩壊多様体および正にピンチされた多様体の理解において、顕著な進展がなされている。
• 2-連結性などの追加の位相的制約は、崩壊状況においてより強い構造的結論を導く。