[論文レビュー] Sharp Hölder continuity of tangent cones for spaces with a lower Ricci curvature bound and applications

Tobias Colding, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、下界付きリッチ曲率を持つ測度付き距離空間における最小化測地線に沿って接錐の鋭い Hölder 継続性を確立し、近接する点における接錐内の単位球間の Gromov-Hausdorff 距離が指数 $\alpha(n) \approx \frac{1}{2}$ で Hölder 継続的に減少することを証明する。この結果は、極限空間に深い正則性特性をもたらし、正則集合の弱凸性、等長群のリー群構造、一様な Reifenberg 型正則性を含み、Cheeger–Colding の主要な予想を解決する。

ABSTRACT

We prove a new kind of estimate that holds on any manifold with lower Ricci bounds. It relates the geometry of two small balls with the same radius, potentially far apart, but centered in the interior of a common minimizing geodesic. It reveals new, previously unknown, properties that all generalized spaces with a lower Ricci curvature bound must have and it has a number of applications. This new kind of estimate asserts that the geometry of small balls along any minimizing geodesic changes in a Hölder continuous way with a constant depending on the lower bound for the Ricci curvature, the dimension of the manifold, and the distance to the end points of the geodesic. We give examples that show that the Hölder exponent, along with essentially all the other consequences that we show follow from this estimate, are sharp. The unified theme for all of these applications is convexity. Among the applications is that the regular set is convex for any non-collapsed limit of Einstein metrics. In the general case of potentially collapsed limits of manifolds with just a lower Ricci curvature bound we show that the regular set is weakly convex and $a.e.$ convex, that is almost every pair of points can be connected by a minimizing geodesic whose interior is contained in the regular set. We also show two conjectures of Cheeger-Colding. One of these asserts that the isometry group of any, even collapsed, limit of manifolds with a uniform lower Ricci curvature bound is a Lie group; the key point for this is to rule out small subgroups. The other asserts that the dimension of any limit space is the same everywhere. Finally, we show that a Reifenberg type property holds for collapsed limits and discuss why this indicate further regularity of manifolds and spaces with Ricci curvature bounds.

研究の動機と目的

• 下界付きリッチ曲率を持つ空間における最小化測地線に沿った小さな球の幾何学に対する新しい Hölder 継続性推定を確立すること。
• このような空間における接錐が、測地線に沿った位置に関して、すなわち崩壊ケースでさえも Hölder 継続的に変化することを証明すること。
• Cheeger–Colding が提起した長年の2つの予想を解決すること：下界付きリッチ曲率を持つ極限空間の等長群はリー群である、およびそのような極限空間の次元は至る所で一定である。
• 正則集合内の測地線に対して一様な Reifenberg 型正則性特性を確立し、その測地線周辺での空間のより高い正則性を示すこと。

提案手法

• 主な技術は、最小化測地線に沿った小さな球の幾何学を、中心間の距離の Hölder 型減少に伴って関連付ける新しい Gromov-Hausdorff 評価である。
• 証明は、体積比較、吹き上げ解析、および Gromov-Hausdorff 収束下での極限空間の構造に依存する。
• 著者たちは「極限測地線」という概念——下界付きリッチ曲率を持つ多様体の測地線列の極限として得られる測地線——を用いる。
• それらの測地線に沿った点の周囲でのスケーリングにより接錐を定義し、同じスケーリング列から得られる錐が Hölder 継続的に変化することを証明する。
• Hölder 指数 $\alpha(n)$ が実際には $\frac{1}{2}$ に等しく、特定の空間や測地線に依存しないという事実を応用する。
• この手法は、非崩壊的および崩壊的極限の両方、特異な極限空間を含めて一様に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下界付きリッチ曲率を持つ空間における最小化測地線に沿った小さな球の幾何学は、測地線に沿った位置に関して Hölder 継続的に変化するか？
• RQ2 下界付きリッチ曲率を持つ多様体の極限空間における正則集合は、弱凸かつほとんど至る所で凸であると示せるか？
• RQ3 下界付きリッチ曲率を持つ多様体の極限空間の等長群は、崩壊ケースでさえも必ずリー群であるか？
• RQ4 このような極限空間の正則集合内の測地線に対して、一様な Reifenberg 型正則性特性が成り立つのか？ これはより高い正則性を示唆する。
• RQ5 下界付きリッチ曲率を持つ多様体の極限空間の次元は、空間全体で一定であるか？

主な発見

• 最小化測地線に沿った点における接錐内の単位球間の Gromov-Hausdorff 距離は、指数 $\alpha(n) \approx \frac{1}{2}$ で Hölder 継続的に減少し、特定の空間や測地線に依存しない。
• 下界付きリッチ曲率を持つ多様体の極限空間における正則集合は弱凸であり、ほとんど至る所で凸である。これは、ほとんど至る所の正則点のペアが、内部が正則集合にある最小化測地線で結べることを意味する。
• 下界付きリッチ曲率を持つ多様体の極限空間の等長群はリー群である。Cheeger–Colding の予想を、小さな部分群の存在を除外することで解決する。
• 正則集合内の測地線に対して一様な Reifenberg 型正則性特性が成り立つ：すべての小さなスケールで、空間はユークリッド空間に Gromov-Hausdorff 収束し、より高い正則性を示唆する。
• 下界付きリッチ曲率を持つ多様体の極限空間の次元は、空間全体で一定である。これは Cheeger–Colding のもう一つの予想を確認する。
• 結果は鋭い：例は Hölder 指数 $\alpha(n) = \frac{1}{2}$ およびそれらに続くすべての結果が、改善できないことを示している。