[論文レビュー] Collapsing topology of isolated singularities

Lev Birbrair, Alexandre Fernandes+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間内の閉可定義的孤立特異点に対して、トポロジカルな分厚い・すりぬきの分解を確立し、すりぬき領域が線形より速くホモロジーが崩壊することを証明する。主な貢献は、分離集合の存在と、速収束ホモロジーにおける非単射準同型の間の同値性であり、これにより、度合いの非錐的性がすりぬき領域における位相的障害と結びつけられる。

ABSTRACT

We proof here the existence of a topological thick and thin decomposition of any closed definable thick isolated singularity germ in the spirit of the recently discovered metric thick and thin decomposition of complex normal surface singularities of [10]. Our thin zone catches exactly the homology of the family of the links collapsing faster than linearly. Simultaneously we introduce a class of rigid homeomorphisms more general than bi-Lipschitz ones, which map the topological thin zone onto the topological thin zone of its image. As a consequence of this point of view for the class of singularities we consider we exhibit an equivalent description of the notion of separating sets in terms of this fast contracting homology

研究の動機と目的

• 閉可定義的孤立特異点に対して、複素正則表面特異点における度合い分解に類似したトポロジカルな分厚い・すりぬきの分解を確立すること。
• 半径に関するホモロジーの線形より速い崩壊を捉える領域として、すりぬき領域を同定すること。
• 二重リプシッツ幾何学を一般化し、トポロジカルなすりぬき領域構造を保つ剛体ホメオモルフィズムを導入すること。
• すりぬき領域における速収束ホモロジーを通じて、分離集合の位相的特徴づけを提供すること。
• 分離集合の存在が、すりぬき領域の (d−2)-次ホモロジー群における非単射準同型と同値であることを示すこと

提案手法

• 接リンクが非単純接方向の集合に属する点の集合として、トポロジカルなすりぬき領域を定義する。
• 収縮が速いサイクル（fc-サイクル）の概念を用いて、半径の縮小に伴い線形より速く崩壊するホモロジーを検出する。
• トポロジカルなすりぬき領域を保つ新しいクラスの剛体ホメオモルフィズムを導入し、二重リプシッツ写像を越えて拡張する。
• Birbrair-Brasseletの度合いホモロジーとValetteの消失ホモロジーを用いて、リンクの崩壊トポロジーを分析する。
• 包含写像によって誘導されるホモモーフィズムを、すりぬき領域の (d−2)-次ホモロジーと周囲空間との間に確立する。
• このホモモーフィズムの非単射性が、接リンクの次元と連結成分を用いた背理法により、分離集合の存在を示すこと

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉可定義的孤立特異点は、ホモロジーが半径に関して線形より速く崩壊するすりぬき領域を有するトポロジカルな分厚い・すりぬきの分解をもつのか？
• RQ2 孤立特異点における分離集合は、速収束ホモロジーにおける準同型の非単射性によって特徴づけられるか？
• RQ3 非単純接方向の集合は、トポロジカルなすりぬき領域および分離集合とどのように関係するか？
• RQ4 剛体ホメオモルフィズムは、トポロジカル変形の下ですりぬき領域の構造を保つ役割を果たすか？
• RQ5 分離集合の存在は、すりぬき領域における非自明な速収束ホモロジーと同値か？

主な発見

• トポロジカルなすりぬき領域は、正確に接リンクが非単純接方向の集合に属する点の集合である。
• 単純に埋め込まれた分厚い孤立特異点のモデルにおいて、分離集合が存在するための必要十分条件は、非単純接方向の集合が条件(SC)を満たすことである。
• 包含写像によって誘導される準同型 $\theta_*: \tilde{\rm H}_{d-2}({\rm Thin}(X_1), \textbf{0}) \to \tilde{\rm H}_{d-2}(X_1, \textbf{0})$ が非単射であることは、分離集合の存在と同値である。
• 分離集合の存在は、非単純接方向集合の任意の小領域における錐的近傍内で、すりぬき領域内のある $(d-2)$-サイクルを収縮できないことを意味する。
• 分離集合の接リンクの次元は、$\text{dim}(X_1) - 2$ 以下であるが、これがすりぬき領域内でサイクルが収縮可能であれば、周囲の接リンクの純粋性に矛盾する。
• すりぬき領域は、線形より速く崩壊するトポロジーをすべて捉えており、その構造は、局所的な度合いの錐的でない性質を妨げるホモロジーの障害と本質的に関連している。