[論文レビュー] Colored Vertex Models and Iwahori Whittaker Functions

Ben Brubaker, Valentin Buciumas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 50被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、非アーキメデス的局域体上の再帰的代数群の非分岐主系列における Iwahori および parahoric Whittaker 関数を扱う、解ける格子模型の枠組みを確立する。色分けされた頂点模型を用い、その分配関数がこれらの Whittaker 関数を計算する。主な結果は、これらの模型の R-行列が $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$ の Drinfeld ずれから生じることであり、これにより標準的な相互作用作用素と結びつき、Yang-Baxter 方程式を通じて Iwahori Whittaker 関数と Macdonald 多項式が結びつく。

ABSTRACT

We give a recursive method for computing all values of a basis of Whittaker functions for unramified principal series invariant under an Iwahori or parahoric subgroup of a split reductive group $G$ over a nonarchimedean local field $F$. Structures in the proof have surprising analogies to features of certain solvable lattice models. In the case $G=\mathrm{GL}_r$ we show that there exist solvable lattice models whose partition functions give precisely all of these values. Here `solvable' means that the models have a family of Yang-Baxter equations which imply, among other things, that their partition functions satisfy the same recursions as those for Iwahori or parahoric Whittaker functions. The R-matrices for these Yang-Baxter equations come from a Drinfeld twist of the quantum group $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$, which we then connect to the standard intertwining operators on the unramified principal series. We use our results to connect Iwahori and parahoric Whittaker functions to variations of Macdonald polynomials.

研究の動機と目的

• 解ける格子模型技法を球面 Whittaker 関数を超えて、Iwahori および parahoric Whittaker 関数へと拡張すること。
• ${\mathrm{GL}_r(F)}$ の Iwahori Whittaker 関数の値を計算する色分けられた頂点模型を構築すること。
• Weyl 群の元と $g \in G(F)$ を用いて、格子模型の境界条件と Whittaker 関数値との間の対応を確立すること。
• 格子模型の R-行列を表現論における標準的相互作用作用素と結びつけること。
• 格子模型の枠組みを通じて、Iwahori および parahoric Whittaker 関数と Macdonald 多項式の変種との関係を明らかにすること。

提案手法

• Weyl 群の元と $g \in G(F)$ を符号化する色分けられた境界条件を有する parahoric 標準格子模型を構築すること。
• 融合関係から導かれる Yang-Baxter 方程式を用いて、模型の一貫性と可解性を保証すること。
• $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$ の Drinfeld ずれから R-行列を導出し、格子の相互作用をモデル化すること。
• 模型の分配関数が、Iwahori および parahoric Whittaker 関数と同じ再帰的関係を満たすことを確立すること。
• 相互作用積分と $R$-行列作用を用いて、格子模型を $p$-進群の表現論における標準的作用素と結びつけること。
• 明示的な再帰的関係と境界条件の一致を通じて、格子模型の分配関数が Whittaker 関数の値と一致することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathrm{GL}_r(F)}$ の Iwahori Whittaker 関数は、解ける格子模型の分配関数として実現可能か？
• RQ2 このような格子模型の可解性を支配する R-行列の代数的構造は何か？
• RQ3 格子模型の境界条件は、Weyl 群の元と $g \in G(F)$ とどのように対応するか？
• RQ4 格子模型の R-行列と、非分岐主系列上での標準的相互作用作用素との関係は何か？
• RQ5 この構成を通じて、Iwahori および parahoric Whittaker 関数と Macdonald 多項式とはどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $g \in \mathrm{GL}_r(F)$ および Weyl 群の元 $w$ に対して、parahoric 標準格子模型にその $\psi_w(g)$、すなわち Iwahori Whittaker 関数の値に等しい分配関数を持つ境界条件が存在する。
• 模型の R-行列は $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$ の Drinfeld ずれから生じており、模型が量子群構造と結びつくことを示している。
• 色分けられた頂点模型の分配関数は、Iwahori および parahoric Whittaker 関数と同じ再帰的関係を満たしており、その可解性が確認された。
• 上部境界に異なる色が並ぶ場合、各境界条件は一意に $g \in G(F)$ と Weyl 群の元 $w$ を対応させ、分配関数は $\phi_w(g)$ に等しい。
• この構成により、Whittaker 機能への相互作用作用素の作用と、$R$-行列による格子模型状態への作用との間の直接的な対応関係が確立された。
• この枠組みは parahoric 部分群へと拡張可能であり、Iwahori および parahoric Whittaker 関数を一つの解ける格子模型に統合した。