[論文レビュー] Colouring and Covering Nowhere Dense Graphs

Martin Grohe, Stephan Kreutzer+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、弱および強彩色数のタイトな上限を用いて、単調なグラフクラスがスパースな近傍カバーを許容するための必要十分条件を特定し、それが非どこでも密集であることと同値であることを示している。$r \geq 3$ における弱 $r$-彩色数の計算のNP完全性を証明し、多項式拡張クラスに関する未解決の問題を解決し、さまざまなグラフクラスにおける一般化彩色数の鋭い上界および下界を確立している。

ABSTRACT

It was shown by Grohe et al. that nowhere dense classes of graphs admit sparse neighbourhood covers of small degree. We show that a monotone graph class admits sparse neighbourhood covers if and only if it is nowhere dense. The existence of such covers for nowhere dense classes is established through bounds on so-called weak colouring numbers. The core results of this paper are various lower and upper bounds on the weak colouring numbers and other, closely related generalised colouring numbers. We prove tight bounds for these numbers on graphs of bounded tree width. We clarify and tighten the relation between the expansion (in the sense of "bounded expansion" as defined by Nesetril and Ossona de Mendez) and the various generalised colouring numbers. These upper bounds are complemented by new, stronger exponential lower bounds on the generalised colouring numbers. Finally, we show that computing weak r-colouring numbers is NP-complete for all r>2.

研究の動機と目的

• 一般化彩色数を用いて、スパースな近傍カバーを許容する単調なグラフクラスを特徴付けること。
• 浅いマイナー密度と一般化彩色数の間の関係を明確化すること。
• さまざまなグラフクラスにおける弱および強彩色数のタイトな上界および下界を確立すること。
• 多項式拡張クラスにおける弱彩色数に関する未解決の問題を解決すること。
• $r \geq 3$ における弱 $r$-彩色数の計算の計算複雑性を証明すること。

提案手法

• 非どこでも密集グラフクラスにおけるスパースな近傍カバーの特徴付けに、弱 $r$-彩色数を主要な道具として用いる。
• 一般化彩色数に関する組合せ的境界を適用し、近傍カバーの次数境界を導出する。
• 弱 $r$-彩色数の計算のNP完全性を示すために、バランスドな完全二部部分グラフ（BCBS）問題への還元を用いる。
• 木幅が $k$ であるグラフに対して、弱彩色数のタイトな上界 $\mathrm{wcol}_r(G) \in \mathcal{O}(r^k)$ を確立し、これが成立することを示す。
• 固定されたグラフを位相的マイナーとして除外するクラスに対して、弱彩色数の指数的上界 $\mathrm{wcol}_r(G) \in \mathcal{O}((c_{\mathcal{C}} \cdot r)^r)$ を確立する。
• 多項式拡張クラスに対して、弱彩色数の超多項式下界を構成し、$r$ に関して任意の多項式より速く成長することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの単調なグラフクラスがスパースな近傍カバーを許容するのか。それらはどのように特徴付けられるか。
• RQ2 木幅が高々 $k$ であるグラフに対して、弱および強 $r$-彩色数のタイトな上界および下界は何か。
• RQ3 多項式拡張クラスは、必然的に弱彩色数が多項式的に有界であるのか。
• RQ4 弱 $r$-彩色数の計算は $r \geq 3$ に対してNP完全であるか。
• RQ5 浅いマイナー密度は、$\mathrm{wcol}_r$、$\mathrm{col}_r$、$\mathrm{adm}_r$ のような一般化彩色数とどのように関係するか。

主な発見

• 単調なグラフクラスがスパースな近傍カバーを許容するための必要十分条件は、それが非どこでも密集であることである。これは[12]の結果の逆を示している。
• 木幅が高々 $k$ であるグラフに対して、弱 $r$-彩色数は $\mathcal{O}(r^k)$ で有界であり、この境界はタイトである。
• 固定されたグラフを位相的マイナーとして除外するクラスに対して、弱 $r$-彩色数は $\mathcal{O}((c_{\mathcal{C}} \cdot r)^r)$ で有界であり、有界次数クラスにおける指数的下界により、この境界はほぼ最適である。
• 弱 $r$-彩色数が $r$ に関して超多項式的に成長する多項式拡張クラスが存在し、JoretとWoodの疑問に否定的に答えている。
• 弱 $r$-彩色数の計算は、すべての $r \geq 3$ に対してNP完全であり、バランスドな完全二部部分グラフ問題への還元により示されている。
• 補グラフ $\bar{G}$ に対して、弱 $r$-彩色数は $r=3$ で安定する。すなわち、すべての $r \geq 3$ に対して $\mathrm{wcol}_r(\bar{G}) = \mathrm{wcol}_3(\bar{G})$ が成り立つ。