[論文レビュー] Combinatorial approach of certain generalized Stirling numbers

Hacène Belbachir, Amine Belkhir+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$n$ 個の要素を $k$ 個の順序付きで空でないリストに割り当て、リストの先頭要素に重み $\beta$、その他の要素に重み $\alpha$ を与える重み付き分布によって定義される一般化されたStirling数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ について、組合せ的解釈と明示的公式を提示する。包含除算法と対称関数を用いて、再帰関係、明示的表現、畳み込み恒等式を導出し、古典的なStirling数およびWhitney数を拡張する、新たな代数的・組合せ的構造を提供する。

ABSTRACT

A combinatorial methods are used to investigate some properties of certain generalized Stirling numbers, including explicit formula and recurrence relations. Furthermore, an expression of these numbers with symmetric function is deduced.

研究の動機と目的

• 一般化されたStirling数 $S(n,k;\alpha,\beta,0) = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ の組合せ的解釈を提供すること。これにより、古典的なStirling数およびWhitney数を拡張する。
• 包含除算法を用いて $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ の明示的公式を導出すること。
• 一般化された数の再帰関係および対称関数表現を確立すること。
• 多項係数および順序付き分割構造を含む、新たな畳み込み恒等式を証明すること。

提案手法

• 重み $\beta$ をリストの先頭に、他の要素に重み $\alpha$ を与え、最初の要素に重み $1$ を与える $n$ 個の要素を $k$ 個の順序付きで空でないリストに割り当てる重み付き分布の集合を $\Omega_{n,k}$ と定義する。
• 包含除算法を用いて、明示的公式 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{n}{j} \frac{(\beta j + \alpha)^{n-j}}{j!}$ を導出する。
• 再帰関係 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k-1}^{\alpha,\beta} + (\alpha k + \beta (k-1)) \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k}^{\alpha,\beta}$ を確立する。
• 母関数と組合せ的重み割り当てを用いて、基本対称関数による数の表現を構築する。
• 多項係数の畳み込み恒等式を証明する：$\binom{k}{k_1,\ldots,k_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{l_1+\cdots+l_p=n} \binom{n}{l_1,\ldots,l_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_1}{k_1}^{\alpha,\beta} \cdots \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_p}{k_p}^{\alpha,\beta}$。
• 最後の $s$ 個の要素を $k$ 個のリストに挿入する際の重み付き選択と初期要素の保持を分析することで、第二の畳み込み恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたStirling数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ は、重み付きリスト割り当ての観点からどのように組合せ的に解釈できるか？
• RQ2 包含除算法を用いて、$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ の明示的閉形式表現をどのように導出できるか？
• RQ3 一般化された数の再帰関係は、古典的なStirling数およびWhitney数の再帰関係をどのように一般化するか？
• RQ4 対称関数論を用いて、$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ を構造的な代数的形で表現できるか？
• RQ5 これらの一般化された数の乗法的および加法的構造を支配する畳み込み恒等式は何か？

主な発見

• 包含除算法を用いて、$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ の明示的公式が導出された：$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{n}{j} \frac{(\beta j + \alpha)^{n-j}}{j!}$。
• 再帰関係が確立された：$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k-1}^{\alpha,\beta} + (\alpha k + \beta (k-1)) \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k}^{\alpha,\beta}$。
• 数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ は、母関数と重み割り当てを用いて基本対称関数で表現可能である。
• 多項係数の畳み込み恒等式が成り立つ：$\binom{k}{k_1,\ldots,k_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{l_1+\cdots+l_p=n} \binom{n}{l_1,\ldots,l_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_1}{k_1}^{\alpha,\beta} \cdots \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_p}{k_p}^{\alpha,\beta}$。
• 最後の $s$ 個の要素を $k$ 個のリストに挿入する分析により、第二の畳み込み恒等式が証明された。その結果、順序付き添え字 $i_1 \leq \cdots \leq i_{s-j}$ に関する和が得られ、各項の重みは $\left(\alpha + \beta\right)i_l + \alpha(m - (s-j-l))$ となる。