[論文レビュー] Combinatorial constructions of modules for infinite-dimensional Lie algebras, II. Parafermionic space

Galin Georgiev|ArXiv.org|Apr 26, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、正の整数レベル $k \geq 2$ におけるアフィンリー代数 $\hat{sl}(n+1,\mathbb{C})$ に関連するパラフェルミオン空間の組合せ的基底を、色 $i$ および電荷 $s$ ($1 \leq i \leq n$, $1 \leq s \leq k-1$) を持つ準粒子を表す色付き分割を用いて構成する。この基底はレベル $k-1$ の主部分空間の基底と同値であることが示され、文字数公式はクニバ、ナカニシ、スズキの予想されたストリング関数と一致し、標準的真空 $\hat{g}$-モジュールの新たな組合せ的表現が得られる。

ABSTRACT

The standard modules for an affine Lie algebra $\ga$ have natural subquotients called parafermionic spaces -- the underlying spaces for the so-called parafermionic conformal field theories associated with $\ga.$ We study the case $\ga = \widehat{sl}(n+1,\C)$ for any positive integral level $k \geq 2.$ Generalizing the $\cal Z$-algebra approach of Lepowsky, Wilson and Primc, we construct a combinatorial basis for the parafermionic spaces in terms of colored partitions. The parts of these partitions represent ''Fourier coefficients'' of generalized vertex operators (parafermionic currents) and can be interpreted as statistically interacting quasi-particles of color $i,\;1\leq i \leq n,$ and charge $s,\; 1\leq s \leq k-1.$ From a combinatorial point of view, these bases are essentially identical with the bases for level $k-1$ principal subspaces constructed by the author in [GeI]. In the particular case of the vacuum module, the character (string function) associated with our basis is the formula of Kuniba, Nakanishi and Suzuki [KNS] conjectured in a Bethe Ansatz layout. New combinatorial characters are established for the whole standard vacuum $\ga$-modules.

研究の動機と目的

• パラフェルミオン空間に対して、リーマン代数 $\hat{sl}(2,\mathbb{C})$ の場合にレポウスキー、ウィルソン、プリムツによる $\cal Z$-代数のアプローチを高ランクアフィンリー代数へ一般化すること。
• 色 $i$ および電荷 $s$ を持つ準粒子を表す色付き分割を用いて、パラフェルミオン空間の組合せ的基底を構成すること。
• 既存の主部分空間に関する結果を拡張し、全標準的真空 $\hat{g}$-モジュールに対する新しい組合せ的文字数公式を確立すること。
• 真空パラフェルミオン空間のストリング関数文字数が、クニバ、ナカニシ、スズキの予想された公式と一致することを検証すること。

提案手法

• 一般化された頂点演算子（パラフェルミオンカレント）を用い、そのフーリエ係数が色 $i$ および電荷 $s$ を持つ準粒子に対応し、色付き分割の部品として解釈される。
• 最高重みベクトルを持つ真空モジュール上に、色 $i$ および電荷 $s$ を持つ準粒子（$1 \leq i \leq n$, $1 \leq s \leq k-1$）からなる基底を構築する。
• $\hat{sl}(2,\mathbb{C})$ における $\cal Z$-代数フレームワークを $\hat{sl}(n+1,\mathbb{C})$ に一般化し、主部分空間基底の構造を保つ。
• 基底から文字数公式を導出し、カーテン行列と $B^{st} = \min(s,t)$ からの係数を持つ分割変数における二次形式を含む。
• パラフェルミオン空間は、真空モジュール内の $\hat{h}^+$-不変部分空間の $kQ$-同値部分空間として定義され、基底は射影 $\pi_{L(k\hat{\Lambda}_0)^{\hat{h}^+}}$ を通じて持ち上げられる。
• 主部分空間とパラフェルミオン空間の構造の同型性を活用し、基底および文字数の結果を移行可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル $k \geq 2$ における $\hat{sl}(n+1,\mathbb{C})$ のパラフェルミオン空間に対して、色 $i$ および電荷 $s$ を持つ準粒子を表す色付き分割を用いて、組合せ的基底を構成できるか？
• RQ2 パラフェルミオン空間の文字数が、$\hat{sl}(n+1,\mathbb{C})$ に対してクニバ、ナカニシ、スズキが予想したストリング関数と一致するか？
• RQ3 パラフェルミオン空間の組合せ的基底は、レベル $k-1$ の主部分空間の基底と構造的に同値か？
• RQ4 標準的真空モジュールのストリング関数は、新しい組合せ的文字数公式とどのように関係するか？

主な発見

• レベル $k \geq 2$ における $\hat{sl}(n+1,\mathbb{C})$ のパラフェルミオン空間は、色 $i$ および電荷 $s$ を持つ準粒子（$1 \leq i \leq n$, $1 \leq s \leq k-1$）の色付き分割によって添え字づけられる組合せ的基底を有する。
• パラフェルミオン空間の文字数は、クニバ、ナカニシ、スズキが予想したストリング関数公式と一致し、$\hat{sl}(n+1,\mathbb{C})$ においてレベル $k \geq 2$ でその有効性が裏付けられる。
• パラフェルミオン空間の基底は、レベル $k-1$ の主部分空間の基底と構造的に同一であることが示され、両者の間の深い関係が確立される。
• 文字数公式は、カーテン行列 $A_{lm}$ と $B^{st} = \min(s,t)$ を含む二次形式を持つ分割の和として表され、$q$-ポッホハマー記号で重み付けられる。
• 真空モジュールに対して、文字数は $\sum_{p_{i}^{(s)} \geq 0} \frac{q^{\frac{1}{2}\sum_{l,m,s,t} A_{lm}B^{st}p_l^{(s)}p_m^{(t)}}}{\prod_{i=1}^n \prod_{s=1}^k (q)_{p_i^{(s)}}}$ と与えられ、フェイジン＝ストイアノフスキーの公式と一致する。
• この手法は非真空モジュールへも適用可能であり、レベル 2 における $\hat{\Lambda}_1 + \hat{\Lambda}_2$ 最高重みに対して、明示的に組合せ的基底と文字数公式が構成される。