[論文レビュー] Combinatorial representations of Coxeter groups over a field of two elements

Hau-Wen Huang, Chih-wen Weng|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、A、D、E型の単純根系をもつコクセター群（タイプA、D、E）を、有限体𝔽₂上での組み合わせ的フラッピングパズルに基づいて、各生成子を𝔽₂ⁿ上に作用する可逆行列に対応させることで、組み合わせ的表現を構成する。主な結果は、このバガン表現の核が群の中心とちょうど一致することであり、各タイプについて𝔽₂ⁿ上の群作用の軌道が完全に分類されている。

ABSTRACT

Let $W$ denote a simply-laced Coxeter group with $n$ generators. We construct an $n$-dimensional representation $ϕ$ of $W$ over the finite field $F_2$ of two elements. The action of $ϕ(W)$ on $F_2^n$ by left multiplication is corresponding to a combinatorial structure extracted and generalized from Vogan diagrams. In each case W of types A, D and E, we determine the orbits of $F_2^n$ under the action of $ϕ(W)$, and find that the kernel of $ϕ$ is the center $Z(W)$ of $W.$

研究の動機と目的

• A、D、E型の単純根系をもつコクセター群の、2元体𝔽₂上での忠実な行列表現を、ディンキン図形上の組み合わせ的フラッピングパズルを用いて定義すること。
• これらの行列によって誘導される𝔽₂ⁿ上の群作用の構造を特定すること。
• Aₙ、Dₙ、Eₙ型について、フラッピング群φ(W)による𝔽₂ⁿの軌道を分類すること。
• バガン表現φの核を特定し、それがコクセター群Wの中心Z(W)に等しいことを示すこと。

提案手法

• コクセター群の各生成子sに対して、n×nの𝔽₂上での可逆行列𝔰を定義する。𝔰ᵤᵥ = 1 となるのは、u=v または v=s かつ (u,v) がディンキン図形の辺である場合に限る。
• これらの行列𝔰（s ∈ S）によって生成されるGLₙ(𝔽₂)の部分群を、フラッピング群𝔚と定義する。
• 写像s ↦ 𝔰を、φ: W → GLₙ(𝔽₂) という準同型に持ち上げ、これをバガン表現と呼ぶ。
• Wの有限性と行列群の計算を用いて、φ(W)の像のサイズと構造を特定する。
• φ(W)が𝔽₂ⁿに作用する様子を分析し、群作用の軌道を分類する。
• φの特定のパラボリック部分群への制限の単射性を証明し、群の位数比較によって核を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純根系をもつディンキン図形上のフラッピングパズルによって誘導される𝔽₂ⁿ上の群作用の構造は何か？
• RQ2 Aₙ、Dₙ、Eₙ型について、フラッピング群φ(W)による𝔽₂ⁿの軌道はどのように分解されるか？
• RQ3 バガン表現φの核は、コクセター群Wの中心Z(W)に等しいか？
• RQ4 どのタイプについてバガン表現が既約であり、可約性は群の構造とどのように関係するか？
• RQ5 E₈について、フラッピング群のサイズと軌道構造は何か？また、元の群と比較するとどうなるか？

主な発見

• Aₙ型について、表現φはn = 1 またはnが偶数である場合に限り既約であり、それ以外の場合は可約である。
• n > 1 かつ nが奇数のとき、φの核は自明であり、n = 1 のときには位数2である。
• Dₙ型（n ≥ 4）について、nが偶数のときφの核の位数は2、nが奇数のとき自明である。
• E₆型について、表現φは既約であり、核は自明である。
• E₇型について、表現φは可約であり、核の位数は2である。
• E₈型について、表現φは既約であり、核の位数は2であり、これは中心Z(W)に一致する。