[論文レビュー] Combinatorial structure of exceptional sets in resolutions of singularities

D. A. Stepanov|ArXiv.org|Nov 29, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は代数幾何における特異点の解消に付随する双対複体のホモトピー型を調査する。トロイダル埋め込みと組合せ的分割技術を用いて、3次元の端末特異点およびブリースコルン特異点に対して、双対複体がホモトピー的に自明であることを証明する。主な貢献は、このような特異点の任意の良い解消における双対複体が一点にホモトピー同値であることを確立したことであり、これにより中間ホモロジー群が自明であることが示される。

ABSTRACT

The dual complex can be associated to any resolution of singularities whose exceptional set is a divisor with simple normal crossings. It generalizes to higher dimensions the notion of the dual graph of a resolution of surface singularity. The homotopy type of the dual complex does not depend on the choice of a resolution and thus can be considered as an invariant of singularity. In this preprint we show that the dual complex is homotopy trivial for resolutions of 3-dimensional terminal singularities and for resolutions of Brieskorn singularities. We also review our earlier results on resolutions of rational and hypersurface singularities.

研究の動機と目的

• 高次元における特異点の解消に付随する双対複体の位相的構造を理解すること。
• 3次元端末特異点の解消における双対複体がホモトピー的に自明であるかどうかを特定すること。
• 従来の有理特異点および超曲面特異点に関する結果を、ブリースコルン特異点を含むより広いクラスへと拡張すること。
• 解消の組合せ的構造と双対複体のホモトピー型との間の関係を確立すること。
• 完全な解消計算を必要としない、トロイダル埋め込みと分割を用いた一般化された枠組みを提供すること。

提案手法

• 双対複体 Δ(Z) は、良い解消 f: Y → X における単純正規交叉をなす特異除集合 Z のインシデント複体として構成される。
• トロイダル埋め込みの理論が適用され、被約写像が Δ(Z) に関連する錐的多面体複体の分割に対応する。
• 正錐 σ₊ のヴァルケンコ分割を用いて、部分解消 Y'' ⊂ V(Σ'') が構成され、これにより得られる複体 Δ(Z'') が完全な双対複体 Δ(Z) とホモトピー同値であることが保証される。
• 性質 (R) が用いられ、ファン Σ'' のすべての錐が単体的であり、σ₊ の内部に新たなレイトスを追加してもホモトピー型が変化しないことを保証する。
• 双対複体 Δ(Z'') はその位相的構造を介して分析され、ブリースコルン特異点では Δ(Z'') が一点であるため、Δ(Z) が一点にホモトピー同値であることが示される。
• 分割によるホモトピー型の保存性により、完全な解消の計算を避けても、より単純な部分解消を用いて大域的な位相的性質を導くことが可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元端末特異点の良い解消における双対複体は、一点にホモトピー同値であるか？
• RQ2 ブリースコルン特異点の双対複体は、解消の仕方に関わらずホモトピー型が自明であるか？
• RQ3 完全な解消の計算を伴わずに、組合せ的データのみを用いて双対複体のホモトピー型を特定できるか？
• RQ4 ヴァルケンコ分割とトロイダル埋め込み理論は、双対複体の解析を簡略化するために果たす役割は何か？
• RQ5 非退化超曲面特異点で性質 (R) を満たす場合、双対複体の中間ホモロジー群はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の3次元端末特異点の良い解消における双対複体 Δ(Z) は、一点にホモトピー同値である。
• x₀^a₀ + ⋯ + xₙ^aₙ = 0 で定義されるブリースコルン特異点では、解消の仕方に関わらず双対複体 Δ(Z) は一点にホモトピー同値である。
• 非退化孤立超曲面特異点で性質 (R) を満たす場合、中間ホモロジー群 Hₖ(Δ(Z), ℤ) は 0 < k < n−1 の範囲で消える。
• 双対複体 Δ(Z) は、ヴァルケンコ分割を用いた部分解消から得られる Z'' から得られる Δ(Z'') とホモトピー同値であり、これにより位相的解析が簡略化される。
• ブリースコルン特異点における複体 Δ(Z'') は単一の頂点から構成され、Δ(Z) が収縮可能であることを確認する。
• 双対複体 Δ(Z) のホモトピー型はトロイダル分割のもとで保存され、組合せ的ファンを用いて位相的不変量を導くことが可能となる。