[論文レビュー] Combinatorics and topology of straightening maps II: Discontinuity

Hiroyuki Inou|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 3 $ の多項式族に対して、非互いに素でない型の再正規化に関連するストレートネッシング写像が、Misiurewiczパラメータですらも連続でないことを証明している。擬等長剛性とハイブリッド同相写像における乗数保存性を用いて、非自明なファトウ臨界関係が存在する場合に不連続性が生じることを示し、立方型族に関する先行結果を一般化するとともに、有理型関数および超越的整関数への解析を拡張している。

ABSTRACT

We continue the study of straightening maps for the family of polynomials of degree $d \ge 3$. The notion of straightening map is originally introduced by Douady and Hubbard to study relationship between polynomial-like renormalizations and self-similarity of the Mandelbrot set. In the quadratic case, straightening maps are always continuous, and this is one of the critical steps to prove the Mandelbrot set has small copies in itself. On the other hand, for higher degree case, we do not have such a nice self-similar property: As expected from an example of a cubic-like family with discontinuous straightening map by Douady and Hubbard, we prove that the straightening map is discontinuous unless it is of disjoint type.

研究の動機と目的

• 多項式族の度数 $ d \geq 3 $ においてストレートネッシング写像が連続でない条件を確立すること。
• 二次の場合を越えてストレートネッシング写像が連続であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• マッピングスキーマとハイブリッド同相写像技術を用いて、不連続性の解析を有理型関数および超越的整関数へ拡張すること。
• 非自明なファトウ臨界関係がストレートネッシング写像の連続性を破壊する役割を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、$ \lambda_0 $-再正規可能多項式の組合せ的構造を記述するためにマッピングスキーマと有理ラミネーションの概念を用いる。
• 彼らは、$ \lambda_0 $-組合せ的再正規可能集合からマッピングスキーマ上の多項式族のファイバーごとの連結性領域へのストレートネッシング写像 $ \chi_{\lambda_0} $ を定義する。
• Misiurewicz写像の擬等長剛性を活用し、ストレートネッシング写像が収束しないMisiurewicz写像に収束するパラメータ列を構成する。
• 正則対応における乗数保存性に関する定理2.2を適用し、連続性を仮定した場合に矛盾を導く。
• その議論の根拠は、ハイブリッド同相写像における乗数保存性が、非自明な臨界関係が存在する場合に、次数の上限に矛盾する不変な正則対応による同相写像を意味することにある。
• この手法は、有理型関数および超越的整関数へと拡張可能であり、ストレートネッシング写像への連続的セクションの存在を解析することで実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度数 $ d \geq 3 $ の多項式族において、ストレートネッシング写像が不連続となる条件は何か？
• RQ2 なぜ非自明なファトウ臨界関係が存在する場合にのみ不連続性が生じるのか？
• RQ3 擬等長剛性と乗数保存性を用いて、高次族におけるストレートネッシング写像の不連続性を証明できるか？
• RQ4 ストレートネッシング写像の連続性は、臨界関係の種別（例えば、互いに素な型対非互いに素な型）に依存するか？
• RQ5 ストレートネッシング写像の不連続性結果は、有理型関数または超越的整関数族へと拡張可能か？

主な発見

• 任意のMisiurewicz $ \lambda_0 $-再正規可能多項式において、$ \lambda_0 $ が非自明なファトウ臨界関係を持つならば、ストレートネッシング写像 $ \chi_{\lambda_0} $ は不連続である。
• このようなMisiurewiczパラメータの任意の近傍で不連続性が生じるため、分岐測度の台と交差する任意の開集合上で連続でないことが示される。
• 連続性を仮定した場合に生じる次数の上限における矛盾が原因である：ストレートネッシング写像は次数 $ (\deg \tilde{f})^p $ を持つ必要があるが、実際の次数はそれより厳密に小さい。
• この結果は有理型関数および超越的整関数へ一般化可能である：Misiurewiczパラメータの近傍に連続的セクションが存在するためには、族がすべての $ v $ に対して $ \delta(v) = d $ を満たす多項式族とアフィン同相でなければならない。
• 超越的整関数の場合、無限大の次数のため次数比較による矛盾は導けないが、同相写像の存在は関係する写像に構造的制約をもたらす。
• 本稿は完全な分類を提供する：$ \chi_{\lambda_0} $ が連続であるための必要十分条件は、$ \lambda_0 $ が非互いに素型であること、すなわちすべてのファトウ臨界点が単純であり、異なる軌道上に周期的であることである。