[論文レビュー] Combinatorics of the permutation tableaux of type B

Sylvie Corteel, Matthieu Josuat-Vergès+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、型Bの置換テーブルックスを用いて、型Aにおけるマトリックス・アンサツ、ラベル付きモーツキン道、連分数といった道具を一般化することで、型Bのq-オイラー数のqアナログを導入し、研究している。符号付き置換に対する対称的q-オイラー多項式を確立し、ナラヤナ数、交差、アラインメント、フラッグ統計と関連づけ、型Bの統計およびその母関数の包括的な組合せ的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Permutation tableaux are combinatorial objects related with permutations and various statistics on them. They appeared in connection with total positivity in Grassmannians, and stationary probabilities in a PASEP model. In particular they gave rise to an interesting q-analog of Eulerian numbers. The purpose of this article is to study some combinatorial properties of type B permutation tableaux, defined by Lam and Williams, and links with signed permutation statistics. We show that many of the tools used for permutation tableaux generalize in this case, including: the Matrix Ansatz (a method originally related with the PASEP), bijections with labeled paths and links with continued fractions, bijections with signed permutations. In particular we obtain a q-analog of the type B Eulerian numbers, having a lot in common with the previously known q-Eulerian numbers: for example they have a nice symmetry property, they have the type B Narayana numbers as constant terms. The signed permutation statistics arising here are of several kinds. Firstly, there are several variants of descents and excedances, and more precisely of flag descents and flag excedances. Other statistics are the crossings and alignments, which generalize a previous definition on (unsigned) permutations. There are also some pattern-like statistics arising from variants of the bijection of Fran\ccon and Viennot.

研究の動機と目的

• 置換テーブルックスの組合せ的枠組みを型Aから型Bに拡張し、符号付き置換と新しい統計を統合すること。
• マトリックス・アンサツとラベル付きモーツキン道を用いて、型Bのqアナログのオイラー数を定義し、研究すること。
• 型Bの文脈において、対称性の性質とナラヤナ数、連分数への関連を確立すること。
• フラッグデセンドとフラッグエクセダンスの統計を符号付き置換に一般化し、テーブルックス統計と関連づけること。
• 挿入、ネスティング、母関数の組合せ的証明に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• マトリックス・アンサツを型Bの置換テーブルックスに拡張し、母関数と漸化式を導出する。
• ラベル付きモーツキン道を用いてテーブルックスを符号化し、テーブルックスのパラメータに基づいて上り、下り、水平のステップに重みを割り当てる。
• ラベル付きモーツキン道の成分における漸化式を用いて、B_n(y,t,q)の母関数の連分数展開を導出する。
• 交差とアラインメントを符号付き置換上で組合せ的に定義し、2cr(π) + al(π) = n² - 2n + fwex(π) という重要な恒等式を満たすことを示す。
• B_n(y,1,0)の母関数を明示的に計算し、二項係数の二乗の和に等しいことを示し、型Bのナラヤナ数と関連づける。
• 符号付き置換のピグノーズ図を用いて、q-オイラー多項式の対称性を証明し、型Aの対称性を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトリックス・アンサツをどのようにして型Bの置換テーブルックスの母関数を構成するために適応できるか？
• RQ2 型Bのq-オイラー数の組合せ的解釈は、符号付き置換とその統計を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 型Bのq-オイラー多項式の対称性は、テーブルックス構造から直接証明可能か？
• RQ4 符号付き置換における交差、アラインメント、フラッグエクセダンスの関係は何か？
• RQ5 結果をネスティング統計を含めるか、B_n(y,t,q)におけるパrameter tを一般化して他のパラメータに拡張できるか？

主な発見

• 型Bの置換テーブルックスにおけるq-オイラー多項式B_n(y,t,q)は対称的である：B_n,k*(t,q) = B_n,2n+1−k*(t,q)，型Aの対称性を一般化する。
• q=0のとき、母関数B_n(y,1,0)は∑_{i=1}^{2n} y^i * binom(n, floor(i/2)) * binom(n-1, ceil(i/2)−1)に等しくなる。その係数は型Bのナラヤナ数binom(n,k)^2に等しい。
• 符号付き置換πに対して恒等式2cr(π) + al(π) = n² − 2n + fwex(π)が成り立ち、型Aにおける既知の恒等式を一般化する。
• B_n(y,t,q)の母関数は、重み付きステップを持つラベル付きモーツキン道における漸化式から導出された連分数展開を有する。
• 係数B_n,k(t,q) = [y^k]B_n(y,t,q)は1 ≤ k ≤ 2nまたはk=0のときのみ非ゼロであり、t=0のときq-オイラー数E_n,k(q)に簡約される。
• 型Bの置換テーブルックスと符号付き置換との間の双対写像を確立し、行数、対角線の1の個数、余分な1の個数といった統計がフラッグエクセダンスと交差に写される。