[論文レビュー] Combining Gaussian processes and polynomial chaos expansions for stochastic nonlinear model predictive control

Eric Bradford, Lars Imsland|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 65被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ガウス過程（GPs）と多項式クラウス展開（PCE）を組み合わせることで、非線形ダイナミクスを介して確率的不確実性を正確に伝搬する、新しい確率的非線形モデル予測制御（SNMPC）フレームワークを提案する。GPsによる非線形性の扱いとPCEによるスペクトル的不確実性評価の相補的利点を活かし、確率的制約や確率的目的関数の平均と分散を効率的に計算可能とし、アンスチェンテッド変換やマルチステージプログラミングといった従来手法と比較して、制約満たし率の向上と過剰な保守性の低減を実現する。

ABSTRACT

Model predictive control is an advanced control approach for multivariable systems with constraints, which is reliant on an accurate dynamic model. Most real dynamic models are however affected by uncertainties, which can lead to closed-loop performance deterioration and constraint violations. In this paper we introduce a new algorithm to explicitly consider time-invariant stochastic uncertainties in optimal control problems. The difficulty of propagating stochastic variables through nonlinear functions is dealt with by combining Gaussian processes with polynomial chaos expansions. The main novelty in this paper is to use this combination in an efficient fashion to obtain mean and variance estimates of nonlinear transformations. Using this algorithm, it is shown how to formulate both chance-constraints and a probabilistic objective for the optimal control problem. On a batch reactor case study we firstly verify the ability of the new approach to accurately approximate the probability distributions required. Secondly, a tractable stochastic nonlinear model predictive control approach is formulated with an economic objective to demonstrate the closed-loop performance of the method via Monte Carlo simulations.

研究の動機と目的

• モデル予測制御における非線形ダイナミクスモデルを介した確率的パrametric不確実性の伝搬という課題に対処すること。
• 確率的非線形MPCにおける保守性を低減し、正確な確率的制約と目的関数を可能にすること。
• アンスチェンテッド変換やマルチステージプログラミングといった従来手法の限界を克服し、平均と分散推定の精度を向上させること。
• 不確実性下でも閉ループ性能を維持できる計算的に実行可能なSNMPCフレームワークを開発すること。
• モンテカルロシミュレーションと比較ベンチマークを用いて、バッチ反応器の事例研究で手法を検証すること。

提案手法

• 確率的入力を非線形変換するため、ガウス過程（GPs）と多項式クラウス展開（PCE）を組み合わせて用いる。
• GPsを用いて、不確実な入力から出力への非線形マッピングを学習し、柔軟な関数近似を実現する。
• 学習済みのGPs関数にPCEを適用し、出力分布の平均と分散を解析的に計算する。
• GPPCEの統合的手法により、システムダイナミクスを介した不確実性伝搬を効率的かつ正確に実現する。
• 得られた平均と分散推定値を用いて、最適制御問題におけるチャンス制約と確率的目的関数を定式化する。
• GPPCEフレームワーク内の計算コストの高い項を事前に計算することで、オンライン最適化負荷を軽減し、計算効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GPsとPCEの組み合わせは、非線形確率的システムにおけるアンスチェンテッド変換といった従来手法と比較して、より正確な平均と分散推定を可能にするか？
• RQ2 提案されたGPPCEベースのSNMPCは、ノーマルNMPC、マルチステージNMPC、アンスチェンテッドNMPCと比較して、制約満たし率と計算コストの点でどのように異なるか？
• RQ3 正確な不確実性評価は、確率的非線形MPCにおける保守性をどの程度低減させ、閉ループ性能を向上させるか？
• RQ4 GPPCEフレームワークは、リアルタイム応用における取り扱いやすさを保ちながら、SNMPC定式化に効率的に統合可能か？
• RQ5 分散推定の不正確さに起因する性能劣化は、代替手法と比較してSNMPCアルゴリズムにどの程度影響を及ぼすか？

主な発見

• GPPCEベースのSNMPCは、400回のモンテカルロシミュレーションにおいて、5％のチャンス制約許容誤差を満たしながらも、制約違反が一切発生しなかった。
• SNMPCアルゴリズムの平均計算時間は、1回の最適制御問題（OCP）あたり2.868秒であり、ノーマルNMPCの63倍の長さであったが、はるかに信頼性が高かった。
• アンスチェンテッド変換ベースのNMPCは、1回のOCPあたり平均5.449秒を要し、GPPCEベースのSNMPCと比較してバッチ時間は約4倍長く、分散の過剰推定に起因していた。
• マルチステージNMPCは、温度制約を著しく違反しており、中間の不確実性実現値の取り扱いがGPPCEベースの手法と比較して劣っていた。
• GPPCE手法は、アンスチェンテッド変換よりもより正確な平均と分散推定を提供しており、分散の系統的過剰推定が原因で過剰な保守性が生じていた。
• GPPCEの項を事前に計算することで、オンライン計算負荷が軽減され、精度とリアルタイム実行可能性の間で実用的なトレードオフが実現された。