[論文レビュー] Commensurators of some non-uniform tree lattices and Moufang twin trees

Peter Abramenko, Bertrand R Emy|ArXiv.org|Feb 18, 2004

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ムーファングツインツリーから生じる非均等なツリー格子を含む広範なクラスの非均等ツリー格子に対して、共役群の密度を、全自己同型群の中で確立する。シュ. モーゼスの PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) に関する結果を一般化することで、このような格子の共役群が関連するツリーの自己同型群において稠密であることを証明し、一般化された算術性を古典的状況を超える非均等格子へと拡張する。

ABSTRACT

Sh. Mozes showed that the commensurator of the lattice ${ m PSL}_2 \bigl({\bf F}_p[t{}^{-1}] \bigr)$ is dense in the full automorphism group of the Bruhat-Tits tree of valency $p+1$, the latter group being much bigger than ${ m PSL}_2 \bigl({\bf F}_p((t)) \bigr)$. By G.A. Margulis' criterion, this density is a generalized arithmeticity result. We show that the density of the commensurator holds for many tree-lattices among those called of Nagao type by H. Bass and A. Lubotzky. The result covers many lattices obtained via Moufang twin trees.

研究の動機と目的

• ブルハット＝ティツツリーにおける PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) の共役群の稠密性に関するシュ. モーゼスの結果を、より広範な非均等ツリー格子のクラスへ一般化すること。
• 直接的に分解可能なナガオ型の格子に対して、その共役群がツリーの自己同型群において稠密であることを確立すること、特に双正則な場合に注目すること。
• 従来、均等格子または特定の非均等ケースに限って知られていた一般化された算術性の概念を、ムーファングツインツリーの枠組みを用いて、広範な非均等ツリー格子のクラスへと拡張すること。
• ムーファングツインツリーから生じる非線形的だが算術的性質に類似したツリー格子が存在することを示すこと、特に根群が非巡回群である場合を含む。

提案手法

• レベル関数 ℓ: VT → ℕ が Γ-不変であり、レベルを保存する自己同型の部分群 L ⊆ Aut(T) を誘導する、直接的に分解可能なナガオ型ツリー格子のクラスを導入する。
• レベルを保存する自己同型の構造的性質と共役群の振る舞いを用いて、このような格子に対して C(Γ) ∩ L が L において稠密であることを証明する。
• 双正則ツリーの場合、C(Γ) が L に含まれないならば、モーゼスの PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) に関する戦略を模倣することで、C(Γ) が Aut(T) において本質的に稠密であることを示す。
• ムーファングツインツリー理論と根群データを用いて、任意の有限根群（非巡回群を含む）を持つ格子を構成することで、古典的例を一般化する。
• ティーツのランク1根群データからのムーファングツインツリーの構成法を応用し、非古典的かつ非線形な格子の新規例を生成する。
• ねじれ Kac-Moody 群のボレル部分群のユニポテンツ部分群を分析することで、特定の格子が任意の体上で非線形であるが、共役群が稠密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非均等ツリー格子のナガオ型に対して、関連するツリーの全自己同型群における共役群の稠密性は成立するか？
• RQ2 レベルを保存する部分群 L における C(Γ) の稠密性は、双正則ツリーにおいて Aut(T) 全体への稠密性を示唆するか？
• RQ3 一般化された算術性（稠密な共役群を介して）は、均等格子や古典的ナガオ格子を超えて、より広範な非均等格子のクラスへ拡張可能か？
• RQ4 非線形的ツリー格子が、依然として稠密な共役群を持つ一般化された算術性条件を満たすことは可能か？
• RQ5 ムーファングツインツリーの構成法により、任意の有限根群（非巡回群を含む）を持つ非均等格子を生成でき、その線形性や算術性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 直接的に分解可能なナガオ型のツリー格子の共役群は、常に関連するツリーの自己同型群において稠密であり、モーゼスの PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) に関する結果を一般化する。
• 双正則ツリーの場合、C(Γ) ∩ L が L において稠密であり、かつ C(Γ) が L に含まれないならば、C(Γ) は Aut(T) において本質的に稠密である。
• ランク1根群データからのムーファングツインツリーの構成法により、任意の有限根群（例えば F₇× ≅ Z/2×Z/3 など）を持つ非均等格子を構成可能である。
• 根群が F₇× に同型なこのような構成から得られる格子は、任意の体上で非線形であるが、共役群が稠密であるため、非線形な算術的格子の存在を示す。
• SU₃(F_q[t,t⁻¹]) の例は、関数体上のねじれ Kac-Moody 群が (Comm) 条件を満たさない非均等格子を生成することを示唆するが、他の構成法では稠密性が達成可能であり、その結果が得られる。
• 本稿は、非均等かつ非線形な一般化された算術的格子を Aut(T) に体系的に構成する方法を提供し、一般化された算術性の適用範囲を古典的線形群を超えて拡張する。