[論文レビュー] Comment on "Dirac Quantization of Pais-Uhlenbeck Fourth Order Oscillator"

Katarzyna Bolonek-Lasoń, Kosinski, Piotr|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、等しい周波数極限におけるパイス＝ウーレンバック4次元振動子のディラック量論的化を鋭く検討し、標準的な極限手続きが物理的に不適切な不定計量と零ノルム固有状態をもつ理論をもたらすことを示している。計量と随伴規則の再定義を試みても、得られるハミルトニアンは正定値ヒルベルト空間内で対角化できないため、極限理論は物理的解釈に不満を残す。

ABSTRACT

The structure of Pais-Uhlenbeck oscillator in the equal-frequency limit has been recently studied by Mannheim and Davidson [Phys.Rev. A71 (2005), 042110]. It appears that taking this limit, as presented in the above paper, is quite subtle and the resulting structure of space of states - involved. In order to clarify the situation we present here the proper way of taking the equal-frequency limit, first under the assumption that the scalar product in the space of states is positive defined. We discuss also the case of indefinite metric space of states. We show that, irrespective of the way the limit is defined, the limiting theory can be hardly viewed as satisfactory.

研究の動機と目的

• パイス＝ウーレンバック4次元振動子の等しい周波数極限をとる適切な数学的手続きを明確化すること。
• 極限理論が正定値計量と有界なハミルトニアンを有する一貫した量子論をもたらせるかどうかを評価すること。
• 退化極限における状態空間の構造と、異なるヒルベルト随伴規則定義下でのハミルトニアンの振る舞いを調査すること。
• 計量の再定義や代替随伴規則を用いることで、極限理論を物理的に妥当なものにできるかどうかを特定すること。

提案手法

• 非退化状態におけるハミルトニアンを対角化する正準変換を実行し、エネルギーの符号が逆である2つの独立した調和振動子の形で表現する。
• 等しい周波数極限における変換の特異的挙動を分析し、標準的量子化手続きの破綻を示す。
• 不定内積を定義するための計量演算子 η = (-1)^{N₁} を導入し、物理状態に対して正定値ノルムを可能にする。
• τ = e^{iπA₂⁺A₂} を用いて、不定計量を持つフォック空間において標準的交換関係を回復する新たな随伴規則を構成する。
• 全数演算子 N の固定部分空間におけるハミルトニアンのジョルダン構造を調べ、単一のジョルダンブロックを形成することを示す。
• エネルギー固有状態のノルムを計算し、それが恒等的にゼロであることを証明し、物理的状態解釈の破綻を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パイス＝ウーレンバック振動子の等しい周波数極限は、正定値ヒルベルト空間を保存する形で一貫して定義可能であろうか？
• RQ2 退化極限における状態空間の構造とハミルトニアンのスペクトルはいかなるものか？
• RQ3 計量演算子と再定義された随伴規則の使用が、物理的に受け入れ可能な量子論をもたらすだろうか？
• RQ4 なぜ極限ハミルトニアンは対角化不能であり、その結果として物理的解釈にどのような影響を及えるのか？
• RQ5 極限状態において、ハミルトニアンの固有状態に非ゼロのノルムを割り当てることは可能であろうか？

主な発見

• パイス＝ウーレンバック振動子の等しい周波数極限は、全数演算子 N の各部分空間において、対角化不能であり、単一のジョルダンブロックを形成するハミルトニアンをもたらす。
• ハミルトニアンのすべてのエネルギー固有状態はノルムがゼロであることが示され、⟨n|n⟩ = 0 である。これは物理的状態空間が物理的に不適切であることを示している。
• ハミルトニアン H はその随伴と非可換である（H, H⁺] ≠ 0 であり、これは H が正規でなく、標準的意味で対角化できないことを確認している。
• 計量と随伴規則の再定義にもかかわらず、得られる理論は依然として零ノルムの物理的状態と有界でないスペクトルを有する。
• 標準的極限手続きは、正準変換が特異化し、随伴規則が極限で発散するため、破綻する。
• 本論文は、退化パイス＝ウーレンバック振動子の正エネルギー量子化が、極限手続きを用いて一貫して成立しないと結論づけている。