[論文レビュー] Comment on "Gleason-Type Theorem for Projective Measurements, Including Qubits" by F. De Zela

Michael J. W. Hall|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、F. De Zela が qubit にゲレスンの定理を拡張したと主張するものについて批判し、確率測度の連続性と固有状態の存在という彼の仮定がボーンの法則を導くのに不十分であることを示している。非線形な確率関数の反例により、導出が失敗することを示しており、ゲッデルの定理はデ・ゼラが用いたブロッホスフィアの制限された定義域には適用されない。

ABSTRACT

It has recently been claimed by De Zela that Gleason's theorem, for probability measures on the lattice of projection operators, can be extended to qubits by adding assumptions related to continuity and the existence of 'eigenstates'. This amounts to a claim of the derivation of Born's rule for Hermitian qubit observables. I point out a simple counterexample, and the flaw in De Zela's derivation (these are equally applicable to the repetition of the derivation given in a recent Reply). I also briefly discuss a valid extension to qubits given by Busch.

研究の動機と目的

• De Zela が最近、連続性と固有状態の仮定のみを用いてゲレスンの定理を qubit に拡張できると主張したことに反論すること。
• 特に、直交加法性に関するガッダーの定理の誤った適用を含む、De Zela の導出における論理的欠陥を特定すること。
• 非線形な確率関数が qubit 投影に適用され、De Zela の仮定を満たすが、密度作用素が要求する線形性を破る、具体的な反例を提供すること。
• 量子論的論理に基づく導出と、qubit 拡張に必要なより強い仮定との違いを明確にすること。デ・ゼラのアプローチとバスの有効な拡張を対比すること。
• 基礎的量子力学研究における誤った導出の無批判的引用を警告すること。

提案手法

• ブロッホベクトルでパrameter化された、qubit 投影上の非線形確率関数 $ p_{\rho}(P_{\rho}) = \frac{1}{2}\left[1 + (n^{\psi} \cdot n^{\phi})^3\right] $ を構築する。
• この関数がデ・ゼラの2つの追加仮定（ブロッホベクトルにおける連続性および $ p_{\phi}(P_{\phi}) = 1 $）を満たすことを検証する。
• この関数がゲレスンの定理が要求する線形性を破ることを示し、したがって密度作用素によって表現できないことを証明する。
• デ・ゼラがガッダーの定理を誤って適用している点を暴露する。ガッダーの定理は、ブロッホスフィアの制限された3次元球面ではなく、完全な4次元ベクトルにおける連続性を要件としている。
• デ・ゼラの仮定と、ゲレスン型の拡張を正しく支持する凸結合の確率作用素に関するバスのより強い仮定を比較する。
• 反例を用いて、ブロッホ球面上での連続性だけでは線形構造が強制されないことを示し、デ・ゼラの導出が根底から揺るがされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度の連続性と固有状態の存在という仮定のみを用いて、ゲレスンの定理を qubit に拡張することは可能か？
• RQ2 デ・ゼラが qubit 投影格子にガッダーの定理を適用する際に、どのような誤りがあるか？
• RQ3 デ・ゼラの仮定を満たすが、ボーンの法則が要求する線形性を破る非線形確率関数が qubit 投影に存在するか？
• RQ4 ブロッホ球面上での連続性の仮定が、なぜ確率測度に線形構造を強制しないのか？
• RQ5 バスによるゲレスンの定理の qubit への有効な拡張は、デ・ゼラのアプローチと比べてどのような仮定の違いがあるか？

主な発見

• 反例として、$ p_{\phi}(P_{\psi}) = \frac{1}{2}\left[1 + (n^{\phi} \cdot n^{\psi})^3\right] $ が、デ・ゼラの連続性および固有状態の仮定を満たすが、$ P_{\psi} $ に関して非線形であるようなものが構成され、したがってゲレスンの定理が要求する密度作用素の形にはならない。
• 関数 $ p_{\phi}(P_{\psi}) $ はブロッホベクトル $ n^{\psi} $ に関して連続であり、$ p_{\phi}(P_{\phi}) = 1 $ を満たし、直交する投影の和に対する正規化と加法性を保っているが、密度作用素によって表現することはできない。
• デ・ゼラの導出は、ガッダーの定理に依存しているが、その定理は完全な4次元ベクトルにおける連続性を要件としており、ブロッホスフィアの制限された $ (1, n^{\psi}) $ の部分多様体には適用されないため、失敗する。
• 反例により、デ・ゼラの仮定は qubit におけるボーンの法則を導くのに不十分であり、彼の qubit に対するゲレスン型定理の主張は無効であることが証明された。
• バスの拡張は、確率作用素の凸結合を仮定するというより強い物理的仮定を採用しており、これが正しく線形性を強制するため、有効である。
• 本論文は、デ・ゼラの仮定は物理的に直感的ではあるが、qubit システムにおける量子確率の線形構造を回復するにはあまりに弱いと結論づける。