[論文レビュー] Comment on the ``Invariance of the Tunneling Method for Dynamical Black Holes''

Marco Pizzi|ArXiv.org|Jul 12, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、最近の研究において、動的ブラックホールのトンネル効果をハミルトニアン・ジャコビ法を用いて解析することで、正しいホーキング温度が得られるとの主張を検証する。本論文は、その研究で、ホーキング面付近における作用積分の時間的寄与を誤って無視していることにより、物理的に不自然な虚数部が作用に生じていることを示している。正しい取り扱いでは、空間的および時間的寄与が完全に相殺され、虚数部を持たない実数の作用が得られ、したがってトンネル率の導出が無効となり、虚数部が生じないことが確認される。これは、主張された結果とは逆である。

ABSTRACT

In the recent paper arXiv:0906.1725 it has been guessed that a ``correct'' treatment of the semi-classical tunneling based on the Hamilton-Jacobi equation gives the standard Hawking formula, contrary to was asserted in my previous paper arXiv:0904.4572. Here I confirm my calculation showing where the article of Di Criscienzo et al. is wrong.

研究の動機と目的

• Ref.[1] が提示する主張、すなわち、ハミルトニアン・ジャコビ法を用いたトンネル法が、動的ブラックホールに対して正しいホーキング温度を導けるという主張に反論すること。
• Ref.[1] において作用積分の時間的寄与が体系的に無視されていること、それが誤った結果を生じさせることを示すこと。
• ホーキング面の近傍において、空間的および時間的寄与の相殺により、作用が実数的かつ有限のままであることの証明。
• Ref.[2] が主張する、曲がった時空におけるトンネル過程において作用に虚数部が生じないという元の結果の正しさを再確認すること。
• ホーキング面における作用被積分関数に極が存在しないことは、一般に成立する性質であり、Belinski によって以前に確立されていることを強調すること。

提案手法

• 球対称時空におけるエディントン＝フィンケルシュタイン＝バーデン座標系での作用 $ I(v,r) $ のハミルトニアン・ジャコビ方程式を分析する。
• 出射軌道に沿った作用 $ I = \int (\partial_r I \, dr + \partial_v I \, dv) $ を導出し、$ ds^2 = 0 $ から得られる光線方程式 $ dv/dr = 2e^{-\Psi}C^{-1} $ を組み込む。
• $ dv/dr $ を作用積分に代入することで、被積分関数が恒等的にゼロになることを示し、極や虚数部が生じないことを証明する。
• Ref.[1] の根本的誤りは、$ dv \, dr $ を $ 0 $ に置き換えていることである。これにより、時間的寄与の導出が無効になり、誤った虚数部が生じる。
• 空間的および時間的寄与の両方がホーキング面で極を持つが、その符号が逆で、合計すると完全に相殺されることを示す。
• 作用の相対論的不変性およびホーキング面近傍での局所平坦性を、虚数部の出現を否定する独立した根拠として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロの粒子が動的ブラックホールのホーキング面付近をトンネルする際、作用に非ゼロの虚数部が生じ得るか？
• RQ2 作用に時間的寄与を含めると、ホーキング面で極が相殺されるが、なぜこれが Ref.[1] の主張とは逆になるのか？
• RQ3 ハミルトニアン・ジャコビ法は、非定常的・動的時空においてホーキング温度を導出するのに有効か？
• RQ4 座標の選択と局所幾何学が、ホーキング面付近におけるトンネル計算に果たす役割は何か？
• RQ5 総作用被積分関数に極がないことは、Belinski が示唆したように、ホーキング面を越えるトンネルが不可能であることを意味するのか？

主な発見

• ホーキング面付近において、空間的および時間的寄与の相殺により、作用被積分関数が恒等的にゼロになり、極のない実数的かつ有限な作用が得られる。
• Ref.[1] が時間的寄与を無視できると主張するのは誤りであり、これにより物理的に不自然な虚数部が作用に生じる。
• Ref.[1] の著者らは誤って $ dv \, dr = 0 $ と置き換えている。これにより導出が無効になり、誤った虚数部が生じる。
• 正しい取り扱いでは、$ \partial_r I \, dr $ と $ \partial_v I \, dv $ の両方がホーキング面で逆符号の極を持ち、完全に相殺される。
• この結果は、Belinski の証明と整合しており、作用に非正則性がないため、ホーキング面を越えるトンネルは不可能である。
• ホーキング面近傍におけるミンコフスキー座標の使用により、虚数部が生じないことが確認され、作用が相対論的不変量であることが裏付けられる。