[論文レビュー] Comments on Defining Entanglement Entropy

Jennifer Lin, Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Quantum many-body systems参考文献 60被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、明示的な正則化を伴う量子場の理論におけるエンタングルメントエントロピーを定義する明確な代数的枠組みを提供し、境界条件が特定の設定である経路積分の手続きを用いて、全エントロピー、精留可能エントロピー、ゲージ不変エントロピーの3種類を区別する。また、ホログラフィー的手法が領域上の最大代数の全エンタングルメントエントロピーを計算することを予想し、物質理論およびゲージ理論におけるエントロピー定義の長年の曖昧さを解消する。

ABSTRACT

We revisit the issue of defining the entropy of a spatial region in a broad class of quantum theories. In theories with explicit regularizations, working within an elementary but general algebraic framework applicable to matter and gauge theories alike, we give precise path integral expressions for three known types of entanglement entropy that we call full, distillable, and gauge-invariant. For a class of gauge theories that do not necessarily have a regularization in our framework, including Chern-Simons theory, we describe a related approach to defining entropies based on locally extending the Hilbert space at the entangling edge, and we discuss its connections to other calculational prescriptions. Based on results from both approaches, we conjecture that it is always the full entanglement entropy that is calculated by standard holographic techniques in strongly coupled conformal theories.

研究の動機と目的

• 空間的領域に沿ってヒルベルト空間が分解しない量子場の理論におけるエンタングルメントエントロピーの定義に関する曖昧さを解消すること。
• 領域上の代数的演算子代数とレプリカトリック経路積分における境界条件との間の関係を明確化すること。
• 正則化された量子理論において、全エントロピー、精留可能エントロピー、ゲージ不変エントロピーの3種類のエンタングルメントエントロピーを区別し、正確に定義すること。
• チャーン・サイモンズ理論のような正則化されていない理論へこの枠組みを拡張すること。その際、エンタングルメント境界での局所的ヒルベルト空間拡張を用いる。
• 標準的なホログラフィー的手法が、強い結合型自己対称場理論における最大代数の全エンタングルメントエントロピーを計算すると予想すること。

提案手法

• エンタングルメントエントロピーを、領域 $\mathbb{V}$ に支持される演算子の部分代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ のフォン・ノイマンエントロピーとして定式化し、トレースをとるのではなく、それらの代数に基づく。
• 物質場では、境界条件として開放的、ディリクレ型、ノイマン型を、ゲージ理論では電場型・磁場型を用いて、3種類のエントロピーに対する明示的な経路積分表現を導出する。これらの境界条件はエンタングルメント表面 $\partial\mathbb{V}$ に設定される。
• 特定の代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ とレプリカトリックにおける境界条件の組み合わせを対応付ける辞書を確立し、各代数が境界値の重み付き和に対応することを示す。
• ヒルベルト空間の分解が明確に定義される格子正則化理論（スピン系、スカラー場・フェルミオン場理論、格子ゲージ理論）にこの枠組みを適用する。
• 正則化されていない理論（例：チャーン・サイモンズ理論）に対しては、$\partial\mathbb{V}$ におけるヒルベルト空間の局所的拡張を導入し、代数的にエントロピーを定義する。
• ウィルソン線のUVからIRへの再構成を用いて、全エントロピーとIRにおけるゲージ不変エントロピーとの差が、トレース正規化に関連する定数にすぎず、動的な補正ではないことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強く結合したCFTにおける標準的なホログラフィー的手法が計算するエンタングルメントエントロピーに対応する代数的構造は何か？
• RQ2 レプリカ経路積分における異なる境界条件（例：ディリクレ型、ノイマン型、電場型、磁場型）が特定の部分代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ にどのように対応するか？
• RQ3 正則化された量子場の理論において、全エントロピー、精留可能エントロピー、ゲージ不変エントロピーの正確な関係は何か？
• RQ4 チャーン・サイモンズ理論のような正則化されていないゲージ理論において、エンタングルメントエントロピーはどのように一貫して定義できるか？
• RQ5 非アーベルゲージ理論において、エッジ項 $\log \dim R$ が双対性の下で一貫して変化するか？

主な発見

• 全エンタングルメントエントロピー（領域 $\mathbb{V}$ 上の最大代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ のフォン・ノイマンエントロピーとして定義される）は、強く結合した自己対称場理論における標準的なホログラフィー的手法によって計算される。
• 各代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ の選択は、レプリカ経路積分における特定の境界条件の組み合わせに対応し、例えばスカラー場ではすべての可能なディリクレ境界値の和に対応する。
• 代数の選択はエンタングルメント境界にのみ依存するわけではない。一部の代数は $\partial\mathbb{V}$ での制約ではなく、$\mathbb{V}$ 内部の制約に対応する。
• 正則化されたゲージ理論では、ゲージ不変エントロピーは、$\partial\mathbb{V}$ における特定の電場および磁場境界条件を持つ経路積分に対応する。
• 正則化されていない理論（例：チャーン・サイモンズ理論）では、$\partial\mathbb{V}$ におけるヒルベルト空間の局所的拡張により、エンタングルメントエントロピーを一貫して定義でき、レプリカトリックの手法を一般化する。
• UVにおける全エントロピーとIRにおけるゲージ不変エントロピーとの差は、トレース正規化に関連する定数であり、UVとIRにおけるヒルベルト空間次元の違いに起因する。動的な補正ではない。