[論文レビュー] Comments on Noncommutative Particle Dynamics

Ciprian Acatrinei|ArXiv.org|Jun 15, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、位置と運動量変数間のポアソン括弧が消えない非可換座標と運動量を伴う古典的ハミルトニアン力学を調査する。非可換性が顕著になるとき、シンプレクティック形式が特異的（特にθσ = 1のとき）になると、系は4つの位相空間自由度から2つに次元削減され、1次ラグランジアン形式への定式化が可能になる。量子力学は、古典理論に存在しない根本的な制約として、同様の特異的極限を強制する。

ABSTRACT

We discuss a version of Hamiltonian (2+1)-dimensional dynamics, in which one allows nonvanishing Poisson brackets also between the coordinates, and between the momenta. The resulting equations of motion are not any more derivable from a Lagrangian. However, taking a specific limit, in which the symplectic form becomes singular, one can recover a first-order Lagrangian description. This signals the dimensional reduction of the phase-space to half its initial number of degrees of freedom. We reach the same limit from another point of view, studying a particular form of the Poisson brackets, which is singled out geometrically and easy to handle algebraically. For comparison, a discussion of quantum mechanics with extended Heisenberg algebra is included. The quantum theory constrains the antisymmetric matrix providing the algebra to the above mentioned classically singular limit.

研究の動機と目的

• 非対角的シンプレクティック形式を用いた古典的ハミルトニアン力学を研究し、座標と運動量の間で消えないポアソン括弧を許容する。
• このような形式から導かれる運動方程式が、1次ラグランジアン形式に再定式化可能な条件を調査する。
• 非可換性の物理的意味、特に最小カプラージョンのゲージ場におけるゲージ不変性の喪失を探求する。
• 古典的非可換力学と量子力学を比較し、特に拡張ヘイゼンベルク代数を検討する。
• 量子力学が特異的極限（θσ = 1）を強制する仕組みを示し、これは古典的には特殊ケースに過ぎないことを明らかにする。

提案手法

• 一般定数シンプレクティック形式ωを用いてハミルトニアン力学を定式化し、拡張ポアソン括弧{xi, xj} = Θijを導出する。ここでΘはωの逆行列である。
• 座標{q1, q2} = θと運動量{p1, p2} = σの非可換性をモデル化するため、Θのパラメータ化を導入する。
• 運動方程式を˙xi = {xi, H} = Θij ∂H/∂xjとして導出し、θσ ≠ 1のときにはラグランジアンから導出できないことを示す。
• θσ = 1の特異的極限を分析し、シンプレクティック形式が退化し、系が2つの独立自由度に還元されることを示す。
• ヒルベルト空間の構造を調査するため、ユニタリ演算子U(α), V(β), W(γ), Z(δ)を用い、θσ = 1のとき(q1, p2)平面が直線に収縮することを示す。
• 古典的結果と量子力学を比較し、拡張ヘイゼンベルク代数[xi, xj] = iΘijが、det(Θ) = 0、すなわちθσ = 1を量子力学的制約として強制することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換ハミルトニアン系における非ラグランジュ的運動方程式が、どのような条件下で1次ラグランジアン形式に再定式化可能か。
• RQ2 座標と運動量の間で消えないポアソン括弧が、最小カプラージョン系におけるゲージ不変性に与える影響は何か。
• RQ3 古典的非可換力学において、特異的極限θσ = 1が物理的に何を意味するか。
• RQ4 なぜ量子力学はθσ = 1を強制するが、古典的には特殊極限に過ぎないのか。
• RQ5 θσ = 1のときヒルベルト空間の構造はどのように変化し、これにより演算子の独立性にどのような意味が生じるか。

主な発見

• 非可換ハミルトニアン系における運動方程式は、シンプレクティック形式が特異的になる、すなわちθσ = 1である場合を除き、ラグランジアンから導出できない。
• 特異的極限θσ = 1では、系は次元削減を経験する：2つの独立自由度のみが力学的であり、˙q1 = −θ˙p2と˙q2 = θ˙p1が成り立つ。
• この特異的極限により、1次ラグランジアン形式の定式化が可能になり、位相空間次元が4から2に削減されたことを示す。
• 量子力学は、拡張ヘイゼンベルク代数を通じて、反対称行列Θが特異的であることを強制し、θσ = 1を制約条件として与える。
• θσ = 1のとき、ヒルベルト空間の構造が収縮する：(q1, p2)平面は直線に縮退し、ˆp2 = −(1/θ)ˆq1とˆp1 = −(1/θ)ˆq2が成り立つ。
• 有界ユニタリ演算子の使用により、θσ = 1のとき、位相空間において固有状態|q1, p2⟩が直線上に同一視されることを確認し、次元削減を裏付ける。