[論文レビュー] Common divisors of a^n-1 and b^n-1 over function fields

Joseph H. Silverman|ArXiv.org|Jan 26, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の多項式 $a, b$ に対して、$a^n - 1$ と $b^n - 1$ の最大公約因数（GCD）の次数の程度を調査する。関数体における素数定理の類似および $r$-乗剰余記号を用いて、乗法的に独立な $a, b$ に対して、$p \nmid n$ などの制限のもとでも、無限に多くの $n$ に対して GCD の次数が $n$ に対して線形に増加することを証明する。これは、$\mathbb{C}[T]$ における有界性および $\mathbb{Z}$ における対数的増加と著しく対照的である。主な結果は、ある $c>0$ に対して、無限に多くの $n$ に対して $\deg(\gcd(a^n-1,b^n-1)) \geq cn$ が成り立つことである。この結果は、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{F}_q[T]$、$\mathbb{C}[T]$ の三つの環におけるディオファントス的整除性の根本的な三重性を浮き彫りにする。これは、正標数における Ailon-Rudnick の境界が成り立つかどうかという問題を解決し、強力な $n$ の制限のもとでも成立しないことを示している。証明は、関数体における合同条件および剰余記号を用いて、$a^n-1$ と $b^n-1$ の両方を割り切る既約多項式を構成することに依拠している。

ABSTRACT

Ailon and Rudnick have shown that if $a,b \in C[T]$ are multiplicatively independent polynomials, then $°(\gcd(a^n-1,b^n-1))$ is bounded for all $n\ge1$. We show that if instead $a,b \in F[T]$ for a finite field $F$ of characteristic $p$, then $°(\gcd(a^n-1,b^n-1))$ is larger than $Cn$ for a constant $C=C(a,b)>0$ and for infinitely many $n$, even if $n$ is restricted in various reasonable ways (e.g., $gec(n,p)=1$).

研究の動機と目的

• 乗法的に独立な $a, b \in \mathbb{F}_q[T]$ に対して、$\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ の挙動を調査すること。
• Ailon-Rudnick の境界（$\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ が $n$ に依存せずに有界）が、正標数でも $p \nmid n$ などの制限のもとで成り立つかどうかを特定すること。
• 関数体において GCD の次数の下界を確立し、$\mathbb{Z}$ における対数的増加および $\mathbb{C}[T]$ における有界性とは対照的に、無限に多くの $n$ に対して $n$ に対して線形に増加することを示すこと。
• Ailon-Rudnick の境界が $\mathbb{F}_q[T]$ で成立しないことの強靭性を示し、$n$ が標数 $p$ の倍数でない場合でも同様に成立しないことの根拠を示すこと。

提案手法

• 関数体における素数定理の類似を用いて、$\mathbb{F}_Q[T]$ 内の次数 $N$ の既約多項式の数を推定する。
• 関数体における算術的級数の素数定理を適用し、$\pi \equiv 1 \pmod{\ell}$ を満たす次数 $N$ の既約多項式 $\pi$ の数を数える。ここで $\ell = \mathrm{LCM}[a,b]$ である。
• $\mathbb{F}_q[T]$ 内の $r$-乗剰余記号を活用し、$\pi \equiv 1 \pmod{\ell}$ ならば、$a$ と $b$ は $\pi$ を法として $r$ 乗剰余であることを保証する。これにより、$n = (Q^N - 1)/r$ のとき $a^n \equiv 1$ および $b^n \equiv 1 \pmod{\pi}$ が成り立つ。
• このような $\pi$ の次数の和を用いて $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ の下界を構成し、$\deg(\gcd) \geq \frac{r}{\Phi_Q(\ell)} \cdot n + O(\sqrt{n})$ を得る。ここで $\Phi_Q(\ell)$ は関数体におけるオイラーのトーティエント関数である。
• 関数 $n$ が $p$ で割り切れる場合にも結果を拡張するため、恒等式 $\gcd(a^{p^i n} - 1, b^{p^i n} - 1) = \gcd(a^n - 1, b^n - 1)^{p^i}$ を用いる。これにより $n$ に対する線形増加の性質が保たれる。
• ある $m$ に対して $Q = q^m$ かつ $m < 2kq^k$ であるため、$r \mid Q - 1$ が成り立ち、関数体 $\mathbb{F}_Q[T]$ において $r$-乗剰余記号が適用可能になることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的に独立な $a, b \in \mathbb{F}_q[T]$ に対して、$p \nmid n$ のとき、Ailon-Rudnick の境界 $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ が成り立つか。
• RQ2 $n$ に対する強い制限のもとでも、$\mathbb{F}_q[T]$ における $\gcd(a^n - 1, b^n - 1)$ の次数が $n$ に依存せずに有界に保たれるか。
• RQ3 $\mathbb{Z}$ および $\mathbb{C}[T]$ の場合と比較して、$\mathbb{F}_q[T]$ における $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ の増加度はいかに異なるか。
• RQ4 無限に多くの $n$ に対して、$\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1)) \geq cn$ を満たす正の定数 $c > 0$ が存在するか。特に $n$ が $p$ の倍数でない場合でも成立するか。
• RQ5 既約多項式を法とする乗法的群の構造が、$\pi$ を法とした $a$ および $b$ の位数を制御する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 乗法的に独立な $a, b \in \mathbb{F}_q[T]$ に対して、ある $c > 0$ が存在し、$p \nmid n$ という制限のもとでも無限に多くの $n$ に対して $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1)) \geq cn$ が成り立つ。
• この下界は、$\ell = \mathrm{LCM}[a,b]$ に対して $\pi \equiv 1 \pmod{\ell}$ を満たす次数 $N$ の無限に多くの既約多項式 $\pi$ の存在に起因する。ここで $n = (Q^N - 1)/r$ とすると、$a^n \equiv b^n \equiv 1 \pmod{\pi}$ が成り立つ。
• 定数 $c$ は $c < \frac{1}{\Phi_Q(\ell)}$ を満たす。ここで $\Phi_Q(\ell)$ は関数体におけるオイラーのトーティエント関数であり、$Q = q^m$（$m < 2kq^k$）である。
• 関数 $n$ が $p$ で割り切れる場合でも、恒等式 $\gcd(a^{p^i n} - 1, b^{p^i n} - 1) = \gcd(a^n - 1, b^n - 1)^{p^i}$ を用いることで、線形増加の性質が保たれる。
• 本論文は、明確な三重性を確立する：$\mathbb{Z}$ では GCD の対数的増加は任意の $\epsilon n$ よりも遅いが、$\mathbb{F}_q[T]$ では線形に増加し、$\mathbb{C}[T]$ では有界である。
• 証明により、正標数における Ailon-Rudnick の境界が、剰余記号および合同条件に起因する多数の既約因子の存在により、強力な $n$ の制限のもとでも成立しないことが示された。