[論文レビュー] Counting points on varieties over finite fields of small characteristic

Alan G. B. Lauder, Daqing Wan|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 18被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、p進法、Dworkのトレース公式、Bombieriの次数上限、半線形還元を用いて、固定次元の代数的多様体のゼータ関数を、小さな特徴値をもつ有限体上ですべての多様体に対して決定的多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、ビット複雑度が $ ilde{/mathcal{O}}(2^{13n^2}a^{3n+7}d^{3n^2+9n}p^{2n+4})$ で抑えられる明示的なアルゴリズムであり、このような体上の滑らかで射影的な曲線のヤコビアン群の位数を効率的に計算可能である。

ABSTRACT

We present a deterministic polynomial time algorithm for computing the zeta function of an arbitrary variety of fixed dimension over a finite field of small characteristic. One consequence of this result is an efficient method for computing the order of the group of rational points on the Jacobian of a smooth geometrically connected projective curve over a finite field of small characteristic.

研究の動機と目的

• 小さな特徴値をもつ有限体上の多様体のゼータ関数を、効率的かつ決定的に計算するアルゴリズムの開発。
• 非特異性や滑らかさの仮定を必要としない、Dworkのp進法を任意の多様体に拡張すること。
• 変数の数、次数、体のサイズに関して、アルゴリズムの明示的な複雑度上限を提供すること。
• 滑らかで射影的な曲線のヤコビアン群の位数を、このような体上で効率的に計算可能にすること。
• スパース多項式に対して効率を向上させるために、ニュートンポリトープとAdolphson-Sperber法を用いてアルゴリズムを最適化すること。

提案手法

• p進コホロロジーを用いて、Dworkのp進トレース公式を適用し、ゼータ関数を有理関数として表現する。
• Bombieriの次数上限を適用して、ゼータ関数の分子および分母の次数を制御し、入力サイズが有限であることを保証する。
• 整数上での線形方程式系の解法に、モジュラー算術と中国剰余定理を用いる半線形還元の議論を適用する。
• 体の拡張 $\mathbb{F}_{q^k}$ 上での点数 $N_k$ を、トーラス分解法を用いて計算し、ビット複雑度は $ ilde{\ mathcal{O}}(a^{3n+7}k^{3n+5}n^{3n+5}d^{3n}p^{2n+4})$ である。
• Weilの境界から得られる係数の大きさの上限を用いて、$\mathbb{Z}$ 上の線形代数により $N_k$ 値からゼータ関数を再構成する。
• 多項式のニュートンポリトープを用いてアルゴリズムを最適化し、全次数 $d^n$ を多面体の正規化体積に置き換えることで、スパースな多項式に対して効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな特徴値をもつ有限体上の多様体のゼータ関数は、決定的多項式時間で計算可能か？
• RQ2 Dworkのp進法は、特異な多様体を含む任意の多様体に対しても、明示的かつ効率的なアルゴリズムを導くようにどのように拡張可能か？
• RQ3 変数の数、次数、体のサイズに関して、ゼータ関数の計算の正確なビット複雑度は何か？
• RQ4 ニュートンポリトープを用いることで、スパースな多項式に対してアルゴリズムを最適化できるか？
• RQ5 滑らかで射影的な曲線のヤコビアン群の位数は、ゼータ関数からどのように効率的に計算可能か？

主な発見

• 固定次元の有限体上での任意の多様体のゼータ関数は、決定的多項式時間で計算可能である。
• アルゴリズムのビット複雑度は $\tilde{\mathcal{O}}(2^{13n^2}a^{3n+7}d^{3n^2+9n}p^{2n+4})$ で抑えられ、soft-oh記法により対数因子を無視する。
• 固定された $n$、$d$、$p$ に対して、時間計算量は $\mathcal{O}(a^{3n+7})$、空間計算量は $\mathcal{O}(a^{2n+4})$ であり、特徴値が小さい場合には効率的である。
• 本手法により、ゼータ関数の重み1部 $P(T)$ における $P(1)$ を用いて、滑らかで射影的な曲線のヤコビアン群の位数を効率的に計算可能である。
• 特異性や滑らかさの仮定を必要とせず、特異的・非滑らかな多様体に対しても処理可能である。
• ニュートンポリトープを用いた最適化により、全次数 $d^n$ を多面体の正規化体積に置き換えることができ、スパースな多項式に対して効率が向上する。