[論文レビュー] Common equivalence and size after forgetting

Paolo Liberatore|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 61被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、命題論理における変数の忘却後に生じる論理的同値性と式のサイズのトレードオフを調査し、新しい変数の導入がサイズを著しく縮小しながらも共通の同値性を維持できることを示している。単一ヘッドで非巡回な式の場合、最小化は多項式時間で可能であるが、新しい変数が許可されるとNP困難にまでなる。また、グラフ理論への還元において、最小式サイズと頂点被覆サイズの間にはタイトな線形関係が成り立つ。

ABSTRACT

Forgetting variables from a propositional formula may increase its size. Introducing new variables is a way to shorten it. Both operations can be expressed in terms of common equivalence, a weakened version of equivalence. In turn, common equivalence can be expressed in terms of forgetting. An algorithm for forgetting and checking common equivalence in polynomial space is given for the Horn case; it is polynomial-time for the subclass of single-head formulae. Minimizing after forgetting is polynomial-time if the formula is also acyclic and variables cannot be introduced, NP-hard when they can.

研究の動機と目的

• 命題論理の式から変数を忘却することでサイズが意図しないほど増加する現象を分析し、簡略化の目的を損なう要因を明らかにすること。
• 変数の忘却後に新たな変数を導入することで、式のサイズを縮小し、再びコンパクト性を回復できるかを調査すること。
• 変数の忘却後の式最小化と計算複雑性の関係を形式化し、特にホーン式および単一ヘッドサブクラスにおける複雑性を明らかにすること。
• 最小同値式とグラフにおける最小頂点被覆の間のタイトな関係を確立し、複雑性の上限を示すこと。

提案手法

• 変数の共有部分における帰結を保つ弱い論理的同値性（共通同値性）を用いて、忘却後の式を比較する形式的枠組みを採用する。
• 式の最小化問題を、導出されたグラフにおける頂点被覆に対応する最小共通同値式を持つ式を構築することで、グラフ理論的問題に還元する。
• 命題論理式から補助変数を導入した新たな式への変換を構築し、新たな変数を除去することで元の式が回復されることを保証する。
• 単一ヘッドで非巡回な式の場合、構造的制約を活用することで、忘却後の最小化が多項式時間で解けることを証明する。
• 新しい変数が許可される場合、最小化問題がNP困難にまでなることを、最小頂点被覆問題への還元によって示す。
• 最小共通同値式のサイズと最小頂点被覆のサイズの間には線形サイズの対応関係が成り立ち、式サイズが被覆サイズに線形に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数の忘却により一時的にサイズが増加するにもかかわらず、新たな変数の導入によって、その後の式サイズを縮小できるか？
• RQ2 新しい変数が禁止されている場合と許可されている場合の両方において、変数の忘却後の式最小化の計算複雑性は何か？
• RQ3 変数の忘却後の最小化が依然として多項式時間で解けるような式の構造的特徴は何か？
• RQ4 最小共通同値式のサイズは、頂点被覆のような組合せ最適化問題とどのように関係するか？

主な発見

• 単一ヘッドで非巡回な式の場合、構造的制約のおかげで、変数の忘却後の最小化は多項式時間で解ける。
• 新しい変数が許可されない場合、単一ヘッドで非巡回な式の最小化は依然として多項式時間で解ける。
• 新しい変数が許可される場合、最小化問題はNP困難にまでなる。これはホーン式に対しても同様であり、最小頂点被覆問題への還元によって示される。
• 最小共通同値式のサイズと導出されたグラフにおける最小頂点被覆サイズの間にはタイトな線形関係が成り立つ：式サイズ = 6|E| + 8|V| + k（kは被覆サイズ）。
• すべての最小共通同値式は頂点被覆に対応し、サイズkのすべての頂点被覆は、サイズ6|E| + 8|V| + kの共通同値式を生成する。
• 構成により、新しい式における補助変数を除去することで元の式が回復され、共通同値性が保証される。