[論文レビュー] Communication Complexity Lower Bounds by Polynomials

Harry Buhrman, Ronald de Wolf|ArXiv.org|Oct 12, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿では多項式法を用いて通信複雑性の下界を確立し、無制限の事前もつれを伴う量子通信において、ランク対数の予想が成り立つことを証明している。いくつかの関数クラスについて、量子と古典的通信複雑性が多項式的に同等であることを示しており、正確なプロトコルには強い下界を、有界誤差設定では弱い下界をもたらしている。

ABSTRACT

The quantum version of communication complexity allows the two communicating parties to exchange qubits and/or to make use of prior entanglement (shared EPR-pairs). Some lower bound techniques are available for qubit communication complexity, but except for the inner product function, no bounds are known for the model with unlimited prior entanglement. We show that the log-rank lower bound extends to the strongest model (qubit communication + unlimited prior entanglement). By relating the rank of the communication matrix to properties of polynomials, we are able to derive some strong bounds for exact protocols. In particular, we prove both the "log-rank conjecture" and the polynomial equivalence of quantum and classical communication complexity for various classes of functions. We also derive some weaker bounds for bounded-error quantum protocols.

研究の動機と目的

• 最も強力な量子通信モデル、すなわちキュービット通信と無制限の事前もつれを含む状況にまで、ランク対数の下界技術を拡張すること。
• 通信行列のランクとそれを表す多項式の次数との関係を調査すること。
• 特定の関数クラスについて、量子と古典的通信複雑性が多項式的に同等であるかどうかを同定すること。
• 多項式法を用いて、正確なプロトコルには強い下界を、有界誤差設定には弱い下界を導出すること。

提案手法

• 関数を表す多変数多項式の次数と通信行列のランクを関連付ける。
• ランクに基づく議論を通じて、通信複雑性の下界を導出するために、多項式の次数を代理指標として用いる。
• 無制限のもつれを伴う量子設定に、ランク対数予想を適用し、多項式表現の下でそれが成立することを示す。
• 代数的複雑性理論と量子情報理論の技術を用いて、通信行列の構造を分析する。
• もつれやキュービットの交換を含む量子操作の下での多項式の振る舞いを分析する。
• 関数の多項式次数と行列ランクに基づく分類により、複雑性下界の階層を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク対数の下界は、無制限の事前もつれを伴う量子通信にまで拡張可能か？
• RQ2 多項式の次数を用いて、正確な量子プロトコルの通信複雑性を特徴づけられるか？
• RQ3 特定の関数クラスについて、量子と古典的通信複雑性は多項式的に同等か？
• RQ4 有界誤差量子通信複雑性の下界を定める際、多項式法の限界は何か？
• RQ5 もつれを伴う設定において、通信行列のランクとそれを表す多項式の次数とはどのように関係するか？

主な発見

• 無制限の事前もつれを伴う量子通信において、ランク対数予想が成り立つ。これは古典的結果を最も強力な量子モデルにまで拡張したものである。
• 正確なプロトコルの文脈において、多項式の次数と行列ランクを用いて強い下界を証明し、この文脈でランク対数予想が確認された。
• 対称関数や低ランク行列をもつ関数など、いくつかの関数クラスについて、量子と古典的通信複雑性が多項式的に同等であることを示した。
• 有界誤差量子プロトコルに対しては、多項式法を用いて弱い下界を導出したが、この設定における正確な同等性は未解決のままである。
• 通信行列のランクは、関数を表す最小次数多項式の次数と密接に関連しており、これにより新たな複雑性下界が得られた。
• 結果として、多項式法が、無制限のもつれが存在する状況でさえも、量子通信複雑性を分析する強力なツールであることが示された。