[論文レビュー] Commutants of von Neumann Modules, Representations of B^a(E) and Other Topics Related to Product Systems of Hilbert Modules

Michael Skeide|ArXiv.org|Aug 25, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、単位ベクトルを必要とせず、$`\mathscr{B}^a(E)$ 上のCP-半群から、ヒルベルトモジュールの積系を補空間に基づく構成によって定義する。ここで $E$ は強く完全なフォンノイマンモジュールである。CP-半群がポワーズによって二つの空間的 $E_0$-半群から構成された場合、そのアーヴェソン系は、それらの個々のアーヴェソン系のテンソル積ではなく、積系であることを証明し、積系の文脈における補空間構成の双対性を確立する。

ABSTRACT

We review some of our results from the theory of product systems of Hilbert modules. We explain that the product systems obtained from a CP-semigroup in a paper by Bhat and Skeide and in a paper by Muhly and Solel are commutants of each other. Then we use this new commutant technique to construct product systems from E_0-semigroups on B^a(E) where E is a strongly full von Neumann module. (This improves the construction from a paper by Skeide for Hilbert modules where existence of a unit vector is required.) Finally, we point out that the Arveson system of a CP-semigroup constructed by Powers from two spatial E_0-semigroups is the product of the corresponding spatial Arveson systems as defined (for Hilbert modules) in a paper by Skeide. It need not coincide with the tensor product of Arveson systems.

研究の動機と目的

• CP-半群 $`\mathscr{B}^a(E)$ 上で、単位ベクトルを必要としないヒルベルトモジュールの積系を補空間に基づいて構成する方法を発展させること。
• CP-半群から生じるアーヴェソン系とその最小弱拡張の関係を、特にポワーズの構成の文脈で明確にすること。
• 二つの空間的 $E_0$-半群から構成されたCP-半群のアーヴェソン系が、それらの個々のアーヴェソン系の積（テンソル積ではない）に同型であることを示すこと。
• CP-半群とその補空間から構成された積系の間の双対性を、ヒルベルトモジュールの文脈で一般化して確立すること。

提案手法

• 二重側フォンノイマン $`\mathscr{B}(G)$-モジュールの積系を、$T_t$ におけるGNS構成を用いて構成する。ここで $G = G^1 \bigoplus G^2$ である。
• GNSモジュール $\mathscr{E}_t$ を、各アーヴェソン系の循環ベクトル $\omega^1_t, \omega^2_t$ から構成された $\xi_t$ を用いて、$\mathcal{B} \xi_t \mathcal{B}$ の生成する閉包として定義する。
• 識別 $\mathscr{E}_t \cong \mathscr{B}(G \oplus G, (G \oplus G) \otimes H_t)$ を用い、ここで $H_t = \mathbb{C}\omega_t \oplus (\mathfrak{H}^1_t \ominus \mathbb{C}\omega^1_t) \oplus (\mathfrak{H}^2_t \ominus \mathbb{C}\omega^2_t)$ である。これにより積構造を実現する。
• 内積 $\langle \xi_t, a \xi_t \rangle = T_t(a)$ が成り立つことを確認し、GNSモジュールがCP-半群を正しく実現することを保証する。
• 得られた積系 $\mathfrak{H}^\otimes = (\mathfrak{H}_t)$ が、個々のアーヴェソン系の積 $\mathfrak{H}^1 \circledcirc \mathfrak{H}^2$ に等長同型であることを示す。
• CP-半群 $T$ の最小弱拡張が、$E_0$-半群 $\vartheta^1$ と $\vartheta^2$ の積に対応し、$T$ のアーヴェソン系がテンソル積ではなく積系であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CP-半群 $\mathscr{B}^a(E)$ 上の積系の構成を、単位ベクトルを必要とするヒルベルトモジュールの枠組みを超えて一般化できるか？
• RQ2 二つの $E_0$-半群から構成されたCP-半群のアーヴェソン系と、それらの個々のアーヴェソン系のテンソル積との正確な関係は何か？
• RQ3 フォンノイマンモジュールの文脈において、CP-半群とその補空間から得られる積系の関係は何か？
• RQ4 ポワーズの構成によって得られるCP-半群のアーヴェソン系は、その構成に使われた $E_0$-半群のアーヴェソン系の積に等しいか？
• RQ5 このようなCP-半群の最小弱拡張は、積系構造の観点から明示的に記述可能か？

主な発見

• $E$ が強く完全なフォンノイマンモジュールであるとき、$\mathscr{B}^a(E)$ 上のCP-半群から得られる積系は、単位ベクトルを必要とせず、従来の結果を一般化する。
• 二つの空間的 $E_0$-半群からポワーズの構成で得られるCP-半群のアーヴェソン系は、それらの個々のアーヴェソン系の積に同型であり、テンソル積ではない。
• GNS構成による $T_t$ から得られる積系 $\mathfrak{H}^\otimes$ は、$(\mathfrak{H}^1 \circledcirc \mathfrak{H}^2)^\otimes$ に等長同型であり、積構造が正当化される。
• GNSモジュール $\mathscr{E}_t$ を $\mathscr{B}(G \oplus G, (G \oplus G) \otimes H_t)$ とし、$H_t = \mathbb{C}\omega_t \oplus (\mathfrak{H}^1_t \ominus \mathbb{C}\omega^1_t) \oplus (\mathfrak{H}^2_t \ominus \mathbb{C}\omega^2_t)$ と定義することで、CP-半群 $T_t$ に一致する正しい内積構造が実現される。
• CP-半群から構成された積系の補空間は、補空間CP-半群から得られる積系に同型であり、両者の構成の間の双対性が確立される。
• CP-半群 $T$ の最小弱拡張は、$E_0$-半群 $\vartheta^1$ と $\vartheta^2$ の積として明示的に記述可能であり、そのアーヴェソン系は個々の系の積である。