[論文レビュー] Commutative quotients of finite W-algebras

Alexander Premet|ArXiv.org|Sep 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限W代数の1次元表現と、特異的包あくり代数のモジュラー化された包あくり代数における大きな単純モジュールの存在との間の関係を確立する。もし有限W代数 $ U(\frak{g},e) $ が1次元表現をもてば、還元された包あくり代数 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ は次元 $ p^{d(\bar{e})} $ の単純モジュールをもつことが示され、ここで $ d(\bar{e}) $ は放物型軌道の次元の半分である。本研究では、誘導とコスタントのセクション理論を用いて、例外的リー代数 $ F_4, E_6, E_7, E_8 $ の剛性軌道に限定して、1次元表現の分類問題を簡約する。

ABSTRACT

Let U(g,e) be the finite W-algebra associated with a nilpotent element e in a simple Lie algebra g and assume that e is induced from a nilpotent element e_0 in a Levi subalgebra l of g. We show that if the finite W-algebra U(l,e_0) has a 1-dimensional representation, then so does U(g,e). For g classical (and in may other cases), we compute the Krull dimension of the largest commutative quotient of U(g,e). Some applications to representation theory of modular counterparts of g are given.

研究の動機と目的

• 有限W代数に関する [33, 猜測3.1(1)] の1次元表現の存在を解決すること。
• 有限W代数 $ U(\frak{g},e) $ の1次元表現と、正標数における還元包あくり代数 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ における大きな単純モジュールの存在との間の関係を確立すること。
• 有限W代数の1次元表現の分類問題を、例外的リー代数 $ F_4, E_6, E_7, E_8 $ の剛性ノルム的軌道のケースに簡約すること。
• コスタントのセクション理論とカツィロのシートに関する結果を用いて、$ U(\frak{g},e) $ の最大の可換商のクルール次元を多くの場合に特定すること。

提案手法

• 大前提 $ p \gg 0 $ における modulo $ p $ の還元を用い、モジュラーリー代数 $ χ(\frak{g}_\bk) $ から特徴0への表現の持ち上げを行う。
• [34] の手法を、$ \mathbb{C} $ の有限生成 $ \mathbb{Z} $-部分代数に適応し、正標数における既約表現を構成する。
• 一般化されたゲルファンド＝グラーヴモジュール $ Q_\chi $ 及びその自己準同型代数 $ U(\frak{g},e) $ を用いる。ここで $ U(\frak{g},e) $ はアフィンW代数のズー代数と同型である。
• $ U(\frak{g},e) \cong \mathrm{End}_{\frak{g}}(Q_\chi)^{\mathrm{op}} $ であるという事実を用いる。ここで $ Q_\chi $ は1次元 $ \frak{m} $-モジュールから誘導される。
• シートのセクションに関するカツィロの結果を用いて、$ U(\frak{g},e) $ の可換商のクルール次元を分析する。
• ローゼブの証明（$ \Gamma(e) $-作用が原始的スペクトル写像のファイバー上で推移的である）に依存し、原始的スペクトルを準アフィン代数的多様体の可算素性の直和に分解可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限W代数 $ U(\frak{g},e) $ が1次元表現をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 有限W代数 $ U(\frak{g},e) $ の1次元表現は、正標数における還元包あくり代数 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ の大きな単純モジュールの存在とどのように関係するか？
• RQ3 有限W代数の1次元表現の分類問題は、例外的リー代数の剛性ノルム的軌道のケースに簡約可能か？
• RQ4 最大の可換商のクルール次元は何か？そして幾何学的および表現論的道具を用いてどのように計算できるか？

主な発見

• $ U(\frak{g},e) $ が1次元表現をもてば、$ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ は次元 $ p^{d(\bar{e})} $ の単純モジュールをもつ。ここで $ d(\bar{e}) $ は $ \bar{e} $ の同型類 $ \mathcal{O}_\bk $ の軌道の次元の半分である。
• $ e $ がレヴィ部分代数 $ \frak{l} $ 内のノルム的要素 $ e_0 $ から誘導され、かつ $ U([\frak{l},\frak{l}], e_0) $ が1次元表現をもてば、$ U(\frak{g},e) $ も1次元表現をもつ。
• 有限W代数の1次元表現の分類問題は、例外的リー代数 $ F_4, E_6, E_7, E_8 $ の剛性ノルム的軌道のケースに簡約される。
• カツィロのシートおよびセクションに関する結果を用いることで、$ U(\frak{g},e) $ の最大の可換商のクルール次元が多くの場合に特定される。
• 任意の複素単純リー代数 $ \frak{g} $ に対して、$ U(\frak{g}) $ の原始的スペクトルは、可算個の準アフィン代数的多様体の素性の直和である。
• 成分群 $ \Gamma(e) $ の $ U(\frak{g},e) $-モジュールの $ d $ 次元既約モジュールの集合への作用は、スペクトル写像のファイバー上で推移的であり、商空間 $ \mathrm{Irr}_d / \Gamma(e) $ は準アフィン多様体である。