[論文レビュー] Commuting Families in Temperley-Lieb Algebras

Tom Halverson, Manuela Mazzocco+1 more|ArXiv.org|Oct 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子群のカシミール作用素とシューア＝ウェル・デュアルリティを用いて、アフィンHecke代数の型AからJucys-Murphy要素を引き上げることで、アフィンTemperley-Lieb代数における可換な要素の族を構成する。これらの要素の平面的ブラウアー図式基底における明示的展開と、一般の既約表現における固有値の計算を行い、整数係数と閉形式のスペクトル表現を持つ中心的要素を確立する。

ABSTRACT

We define analogs of the Jucys-Murphy elements for the affine Temperley-Lieb algebra and give their explicit expansion in terms of the basis of planar Brauer diagrams. These Jucys-Murphy elements are a family of commuting elements in the affine Temperley-Lieb algebra, and we compute their eigenvalues on the generic irreducible representations. We show that they come from Jucys-Murphy elements in the affine Hecke algebra of type A, which in turn come from the Casimir element of the quantum group $U_h\mathfrak{gl}_n$. We also give the explicit specializations of these results to the finite Temperley-Lieb algebra.

研究の動機と目的

• アフィンHecke代数の型AからJucys-Murphy要素を引き上げることで、アフィンTemperley-Lieb代数における可換な要素の族を構成すること。
• 標準的平面的ブラウアー図式基底におけるこれらの要素の明示的展開を提供し、モジュラー表現理論への応用を想定して整数係数を保証すること。
• シューア＝ウェル・デュアルリティと量子群のカシミール作用素を用いて、これらの可換要素がアフィンTemperley-Lieb代数の一般の既約表現上で与える固有値を計算すること。
• GrahamとLehrerのTemperley-Lieb代数における「特別」な関係の起源をシューア＝ウェル・デュアルリティによって説明すること。
• 中心的要素 κ = mk + [2]mk−1 + · · · + [k]m1 を特定し、その既約モジュール上での作用を導出すること。

提案手法

• アフィンHecke代数の型AからJucys-Murphy要素を商写像を介してアフィンTemperley-Lieb代数に引き上げる。
• 量子群 Uhgln とアフィンHecke代数の間のシューア＝ウェル・デュアルリティを用い、可換要素をカシミール作用素に関連付ける。
• アフィンTemperley-Lieb代数における可換要素 mi を、アフィンブraid群の Xεi 要素の線形結合として表現する。
• 標準的テーブルーズ T における Xεi の作用を、XεivT = q^{2c(T(i))}vT という固有値公式により適用する。ここで c(T(i)) は i を含む箱のコンテンツを表す。
• Bratteli図 ˆT/µ におけるパス上で mi の固有値を、コンテンツの差と q-整数 [a − b + 1] を用いて導出する。
• 中心的要素 κ = mk + [2]mk−1 + · · · + [k]m1 を構成し、λ/µ における箱のコンテンツの和を用いてその作用を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jucys-Murphy要素はどのようにアフィンHecke代数からアフィンTemperley-Lieb代数に引き上げられるか？
• RQ2 これらの可換要素は、アフィンTemperley-Lieb代数の平面的ブラウアー図式基底においてどのように明示的に展開されるか？
• RQ3 これらの可換要素は、アフィンTemperley-Lieb代数の一般の既約表現上でどのような固有値をとるか？
• RQ4 シューア＝ウェル・デュアルリティの枠組みは、GrahamとLehrerのTemperley-Lieb代数における「特別」な関係をどのように説明するか？
• RQ5 中心的要素 κ = mk + [2]mk−1 + · · · + [k]m1 は、既約モジュール上でどのように作用するか？

主な発見

• アフィンTemperley-Lieb代数における可換要素 mi は、平面的ブラウアー図式基底において整数係数を有する明示的展開を持つ。
• パス p における mi の固有値は、p(i−1) ± 1 = p(i−2) = p(i) ならば mivp = ±[p(i−1) + 1]vp であり、それ以外の場合は 0 である。
• 中心的要素 κ = mk + [2]mk−1 + · · · + [k]m1 は、既約モジュール Tλ/µk に作用し、定数 [k]q^{−(µ1+µ2)−(µ1−µ2)+1}/(q−q^{−1}) + q^{−(µ1+µ2)}(∑[λ1−λ2+2j] from j=1 to k−1) に作用する。コンテンツに関する明示的和を含む。
• 標準的テーブルーズ T における Xεi の固有値公式は XεivT = q^{2c(T(i))}vT であり、ここで c(T(i)) は i を含む箱のコンテンツを表す。
• GrahamとLehrerのTemperley-Lieb代数における「特別」な関係は、自然にシューア＝ウェル・デュアルリティとカシミール作用素の構造から生じる。
• 全ねじれ作用 Xε1⋯Xεk は ˜Hλ/µk に q^{2c(λ/ν)} として作用する。パスに対しては、Hecke代数の極限と整合的であることが確認される。