[論文レビュー] Commuting quantum circuits: efficient classical simulations versus hardness results

Xiaotong Ni, Maarten Van den Nest|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、可換ゲートから構成される量子回路の古典的シミュレーション可能性を調査し、2局所的可換回路は高精度で古典的に効率的にシミュレート可能であるのに対し、3局所的回路は古典的に困難であることを示している。さらに、指数関数的パウリ演算子からなる回路や特定の非可換プロセスも、可換回路を介して効率的にシミュレート可能であることが示され、古典計算をはるかに超える豊かな計算的構造が明らかになった。

ABSTRACT

The study of quantum circuits composed of commuting gates is particularly useful to understand the delicate boundary between quantum and classical computation. Indeed, while being a restricted class, commuting circuits exhibit genuine quantum effects such as entanglement. In this paper we show that the computational power of commuting circuits exhibits a surprisingly rich structure. First we show that every 2-local commuting circuit acting on d-level systems and followed by single-qudit measurements can be efficiently simulated classically with high accuracy. In contrast, we prove that such strong simulations are hard for 3-local circuits. Using sampling methods we further show that all commuting circuits composed of exponentiated Pauli operators e^{iθP} can be simulated efficiently classically when followed by single-qubit measurements. Finally, we show that commuting circuits can efficiently simulate certain non-commutative processes, related in particular to constant-depth quantum circuits. This gives evidence that the power of commuting circuits goes beyond classical computation.

研究の動機と目的

• 可換量子回路の計算パワーを分析することで、古典的計算と量子計算の境界を理解すること。
• 可換量子回路が古典的コンピュータによってどの条件下で効率的にシミュレート可能であるかを特定すること。
• 可換回路が非可換量子プロセスをシミュレート可能かどうかを調査し、潜在的な量子優位性を示すこと。
• 局所性（2局所対3局所）が、可換回路の古典的シミュレーション可能性および計算の難易度を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• テンソルネットワーク手法を用いて、dレベル系における2局所的可換回路の行列要素を高精度に分析・シミュレートする。
• サンプリング技法とハダマードテストを適用し、多項式時間の古典的アルゴリズムによって定数深さ回路の行列要素を推定する。
• パウリ安定化子形式を用いて、指数関数的パウリ演算子からなる回路の効率的弱シミュレーションを示す。
• 可換ゲートは、その対角化ユニタリが非常にエンタングルされたものであっても同時に対角化可能であるという事実を活用し、回路構造を分析する。
• チェルノフ＝ホフディングの不等式を用いて、高い成功確率で期待値を多項式時間で推定できることを保証する。
• 結果を一般化し、定数深さ回路およびクリフォード回路を含む行列要素を、有界局所性の可換回路を用いてシミュレート可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dレベル系に作用する2局所的可換量子回路は、古典的に効率的にシミュレート可能か？
• RQ2 qubit上の3局所的可換回路の強古典的シミュレーションは、古典的に可能か、それとも#P困難か？
• RQ3 指数関数的パウリ演算子からなる回路は、弱い意味で古典的に効率的にシミュレート可能か？また、その条件は何か？
• RQ4 可換量子回路は、有界深さ回路に由来するような非可換量子プロセスをシミュレート可能か？
• RQ5 局所性（2局所対3局所）が、可換回路の古典的シミュレーション可能性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 任意のdに対して、dレベル系における一様な2局所的可換回路族に続く1クオンチット測定は、高精度で強シミュレーション可能である。
• qubit上での3局所的可換回路の強古典的シミュレーションは#P困難であり、これは、#Pが多項式時間の古典的アルゴリズムを持つ場合を除き、多項式階層が崩壊することを意味する。
• 指数関数的パウリ演算子 e^{iθP} からなる一様な可換回路族に続く1キュービット測定は、弱い意味で古典的に効率的にシミュレート可能である。
• わずかな非可換性でさえも、特定の非可換量子プロセス（特に有界深さ回路に関連するもの）は、完全に可換な量子回路によって効率的にシミュレート可能である。
• 定数深さ回路Uに対して、|⟨0|U|0⟩|²のような行列要素のシミュレーションは、k = 2^m + 1 であるΓ^k回路を用いて多項式時間で達成可能である（mは回路の深さ）。
• 一般化により、Cが一様なクリフォード回路族であるときの|⟨0|UC|0⟩|²のような行列要素も、k = 2^m + 1 であるΓ^k回路を用いて効率的に推定可能であることが示された。