[論文レビュー] On the complexity of Commuting Local Hamiltonians, and tight conditions for Topological Order in such systems

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Quantum many-body systems参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ほぼユークリッド（NE）格子に埋め込まれたキュービットおよびキュートリットにおける3局所相互作用を有する可換局所ハミルトニアン（CLH）問題がNPに属することを確立し、これは基底状態に局所的もつれしか持たないことを示唆する。主な貢献は、鋭い量子相転移の証明である：このような系ではトポロジカルオーダーは不可能であるが、4局所相互作用または高次元のクーディットを用いれば可能となり、キタエフのトーリックコードが可換ハミルトニアンによるトポロジカルオーダー実現において最適であることが示される。

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem plays the equivalent role of SAT in quantum complexity theory. Understanding the complexity of the intermediate case in which the constraints are quantum but all local terms in the Hamiltonian commute, is of importance for conceptual, physical and computational complexity reasons. Bravyi and Vyalyi showed in 2003, using a clever application of the representation theory of C*-algebras, that if the terms in the Hamiltonian are all two-local, the problem is in NP, and the entanglement in the ground states is local. The general case remained open since then. In this paper we extend the results of Bravyi and Vyalyi beyond the two-local case, to the case of three-qubit interactions. We then extend our results even further, and show that NP verification is possible for three-wise interaction between qutrits as well, as long as the interaction graph is embedded on a planar lattice, or more generally, "Nearly Euclidean" (NE). The proofs imply that in all such systems, the entanglement in the ground states is local. These extensions imply an intriguing sharp transition phenomenon in commuting Hamiltonian systems: 3-local NE systems based on qubits and qutrits cannot be used to construct Topological order, as their entanglement is local, whereas for higher dimensional qudits, or for interactions of at least 4 qudits, Topological Order is already possible, via Kitaev's Toric Code construction. We thus conclude that Kitaev's Toric Code construction is optimal for deriving topological order based on commuting Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 2局所の場合を超えた可換局所ハミルトニアン（CLH）問題の計算複雑性を解明すること、特に3局所相互作用の場合に焦点を当てる。
• 可換ハミルトニアン系においてトポロジカルオーダーが出現する正確な条件を特定すること。
• 平面的またはほぼユークリッド格子上でのみ3局所相互作用を有する系でトポロジカルオーダーが可能かどうかを明らかにすること。
• 可換ハミルトニアン系において局所的もつれとトポロジカルオーダーの間の鋭い閾値を確立すること。
• キタエフのトーリックコード構成が、可換ハミルトニアンによるトポロジカルオーダー実現において、相互作用の局所性とクーディット次元の観点から最適であることを証明すること。

提案手法

• 2003年のブラヴィイとヴァリィの2局所可換ハミルトニアンがNPに属することの結果を、C*-代数の表現論を用いてキュービットおよびキュートリットにおける3局所相互作用に拡張する。
• 平面的格子埋め込みを一般化するための「ほぼユークリッド（NE）」グラフの概念を導入し、NP検証をこのようなグラフ上における3局所系に拡張可能とする。
• Lieb-Robinson限界と局所性の議論を用いて、平面的格子上であっても、定数深さの量子回路ではトポロジカルオーダー状態を生成できないことを示す。
• トーリックコードハミルトニアンをトーラス上での4局所・3体相互作用系の特別な例として分析し、境界を持つ平面的格子上でのCLH(3,4)インスタンスとして再解釈する。
• 回路下界を適用して、トポロジカルオーダー状態を生成する任意の回路は深さが少なくともΩ(√n)以上でなければならないことを証明し、非定数深さの要件を示す。
• k < 3 または d < 4（クーディット次元）の場合、定数深さの対角化が可能であるが、k ≥ 4 または d ≥ 4 の場合、不可能であることを示し、鋭い閾値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キュービットおよびキュートリットにおける3局所相互作用を有する可換局所ハミルトニアン問題はNPに属するか？
• RQ2 平面的またはほぼユークリッド格子上でのみ3局所相互作用を有する可換ハミルトニアン系においてトポロジカルオーダーは存在可能か？
• RQ3 可換ハミルトニアン系においてトポロジカルオーダーを実現するための最小の相互作用サイズとクーディット次元は何か？
• RQ4 キタエフのトーリックコード構成は、可換ハミルトニアンによるトポロジカルオーダー実現において、相互作用の局所性とクーディット次元の観点から最適か？
• RQ5 量子回路の深さと、可換ハミルトニアン系においてトポロジカルオーダー状態を生成する能力との関係は何か？

主な発見

• キュービットおよびキュートリットにおけるほぼユークリッド格子上での3局所可換ハミルトニアン問題はNPに属し、これは基底状態に局所的もつれしか持たないことを示唆する。
• 平面的またはほぼユークリッド格子上での3局所可換ハミルトニアン系ではトポロジカルオーダーを実現できない。なぜなら、このような系では非局所的もつれを支持できないからである。
• 4局所相互作用を有する系、またはクーディット次元d ≥ 4の系では、トポロジカルオーダーが可能であり、トーリックコード構成によって実証されている。
• トーリックコードハミルトニアンは、境界を持つ平面的格子上での3体相互作用CLH(3,4)インスタンスとして再解釈可能であり、CLHフレームワーク内での実現可能性が確認された。
• 積状態からトポロジカルオーダー状態を生成する任意の量子回路は深さが少なくともΩ(√n)以上でなければならない。これは、定数深さの回路ではこのようなハミルトニアンを対角化できないことを証明する。
• 局所的もつれからトポロジカルオーダーへの遷移は鋭い：k < 3 または d < 4 の場合、定数深さの対角化が可能でトポロジカルオーダーは不可能であるが、k ≥ 4 または d ≥ 4 の場合、不可能である。これにより、トーリックコードの最適性が確認された。