[論文レビュー] Compact automorphism groups of vertex operator algebras

Chongying Dong, Haisheng Li+1 more|ArXiv.org|Aug 13, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリー群の作用と固定点頂点演算子代数の間にシュール＝ヴァイユ型双対性を確立し、単純な頂点演算子代数 $V$ が $V = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes V_\lambda$ と分解されることを示している。ここで $W_\lambda$ は $G$-モジュールの既約表現、$V_\lambda$ は $V^G$-モジュールの既約表現である。さらに、$G$ の閉部分群と $V^G$ を含む $V$ の頂点演算子部分代数の間のガロア対応を証明し、コンパクトなアーベルリー群への結果の拡張も行った。

ABSTRACT

Let $V$ be a simple vertex operator algebra which admits the continuous, faithful action of a compact Lie group $G$ of automorphisms. We establish a Schur-Weyl type duality between the unitary, irreducible modules for $G$ and the irreducible modules for $V^G$ which are contained in $V$ where $V^G$ is the space of $G$-invariants of $V.$ We also prove a concomitant Galois correspondence between vertex operator subalgebras of $V$ which contain $V^G$ and closed Lie subgroups of $G$ in the case that $G$ is abelian.

研究の動機と目的

• コンパクトリー群 $G$ の連続的作用が単純な頂点演算子代数 $V$ に及ぼす影響と、固定点部分代数 $V^G$ の間のシュール＝ヴァイユ型双対性を確立すること。
• 閉部分群 $H \subset G$ と $V^G$ を含む $V$ の頂点演算子部分代数の間のガロア対応を、コンパクトなアーベルリー群の状況にまで拡張すること。
• 有限可解群に関する既存の結果を、連続的コンパクト群作用、特に微分作用素による無限小の場合に一般化すること。
• $V^G$ が単純な頂点演算子代数であること、および異なる $\lambda$ に対して $V_\lambda$ が同値でない既約 $V^G$-モジュールであることの証明。

提案手法

• 導分 $D = \frac{d}{dt} \otimes 1 + 1 \otimes L(-1)$ を用いて、$V$ から ${\mathbb{Z}}$-次数付きリー代数 $\hat{V}$ を構成し、頂点演算子代数の構造を符号化する。
• コンパクトリー群の表現論を用いて、$V$ を $G$-モジュール $W_\lambda$ と $V^G$-モジュール $V_\lambda$ の直和に分解し、双対性 $V = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes V_\lambda$ を確立する。
• ハウの双対性のアイデアを頂点演算子代数に適応し、有限次元設定におけるシュール＝ヴァイユ双対性を証明する。
• 頂点演算子代数の導分を、次数を保存する線形写像 $[D, Y(u,z)] = Y(Du,z)$ を満たすものとして定義し、導分のリー代数が $V$ に作用し、最高重量モジュールを生成することを示す。
• 半単純リー代数の導分の最高重量ベクトルの空間 $V_\lambda$ が $V^{{\mathfrak{g}}}$ に関して既約モジュールをなすことから、無限小双対性定理を導く。
• コンパクトアーベルリー群 $G \cong A \times T^n$ の構造とポントリャーギン双対性を用いて、閉部分群と $V$ の $V^G$ を含む部分代数 $V^H$ の間の自然な全単射を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリー群 $G$ の単純な頂点演算子代数 $V$ への作用が、$G$-モジュールと $V^G$-モジュールの間の双対性をどのように導くか？
• RQ2 閉リー部分群 $H \subset G$ と $V^G$ を含む $V$ の頂点演算子部分代数の間でガロア対応を確立できるか？
• RQ3 連続的コンパクト群作用下での固定点代数 $V^G$ の構造は何か？また、それが単純であるか？
• RQ4 $G$ が $V$ の半単純リー代数の導分に置き換えられる無限小双対性は、どのように振る舞うか？
• RQ5 $V = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes V_\lambda$ の分解が、非可解なコンパクト群に対しても成り立つか？また、量子ガロア理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意のコンパクトリー群 $G$ が単純な頂点演算子代数 $V$ に連続的に作用するとき、$V = \bigoplus_{\lambda \in I} W_\lambda \otimes V_\lambda$ の分解が成り立つ。ここで $W_\lambda$ は既約 $G$-モジュール、$V_\lambda$ は既約 $V^G$-モジュールである。
• $\lambda$ が異なる限り、$V_\lambda$ は互いに同値でない $V^G$-モジュールであり、各 $V_\lambda$ は非ゼロの既約 $V^G$-モジュールである。
• 固定点代数 $V^G$ は、$W_1$（自明な $G$-モジュール）に対応するため、単純な頂点演算子代数である。
• 半単純リー代数 $\mathfrak{g}$ の導分に対して、最高重量ベクトルの空間 $V_\lambda$ は $V^\mathfrak{g}$-モジュールとして既約であり、$V = \bigoplus_{\lambda \in P} L(\lambda) \otimes V_\lambda$ が成り立つ。
• ガロア対応が成立する：$G$ の閉リー部分群 $H$ と $V^G$ を含む $V$ の頂点演算子部分代数の間には、$H \mapsto V^H$ で与えられる自然な全単射が存在する。
• $G = S^1$ の場合、$V^{S^1}$ を含む $V$ の頂点演算子部分代数は、すべての有限巡回部分群 $F \subset S^1$ に対して $V^F$ として正確に表され、fc（閉＝有限）位相の例を示している。