[論文レビュー] Compact Closed Bicategories

Michael Stay|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 43被引用数 81

ひとこと要約

本稿は、有限積と弱プルバックを備えた圏におけるスパンの2-圏がコンパクト閉であること、ならびにスパンの集合や抵抗ネットワークの2-圏が同様にコンパクト閉であることを示す。これは、対称モノイド2-圏においてすべての対象が弱双対をもち、通常のジグザグ恒等式が自然同型を介して成り立つこと、かつ整合性則を満たすという、コンパクト閉2-圏の直接的定義を導入する。主な貢献は、有限積と弱プルバックを備えた圏Tにおけるスパンの2-圏がコンパクト閉であることを証明し、これによりスパンの集合や特定の抵抗ネットワーク2-圏がコンパクト閉であることが従うことである。

ABSTRACT

A compact closed bicategory is a symmetric monoidal bicategory where every object is equipped with a weak dual. The unit and counit satisfy the usual "zig-zag" identities of a compact closed category only up to natural isomorphism, and the isomorphism is subject to a coherence law. We give several examples of compact closed bicategories, then review previous work. In particular, Day and Street defined compact closed bicategories indirectly via Gray monoids and then appealed to a coherence theorem to extend the concept to bicategories; we restate the definition directly. We prove that given a 2-category T with finite products and weak pullbacks, the bicategory of objects of C, spans, and isomorphism classes of maps of spans is compact closed. As corollaries, the bicategory of spans of sets and certain bicategories of "resistor networks" are compact closed.

研究の動機と目的

• グレイモノイドを介する間接的構成に依存しない、コンパクト閉2-圏の直接的かつ自己完結的な定義を提供すること。
• 双対と自然同型の整合性則が、2-圏的レベルにおける弱双対性の文脈でどのように作用するかを明確にすること。
• 特にスパンやプロファンクターから生じるコンパクト閉2-圏の基礎的例を確立すること。
• 有限積と弱プルバックを備えた圏Tにおけるスパンの2-圏がコンパクト閉であることを証明し、既知の結果を一般化すること。
• この結果が、スパンの集合や抵抗ネットワーク2-圏といった重要な構造のコンパクト閉性をどのように導くかを示すこと。

提案手法

• 弱双対、ユニタリ、結合子、およびのどきん整合性条件を明示することで、コンパクト閉2-圏の直接的定義を導入する。
• 有限積と弱プルバックを備えた圏Tに対して、そのスパンの2-圏Span(T)を中心的な構成とし、対象はTの対象、1-射はスパン、2-射はスパンの写像である。
• 弱プルバック構造のため、スパンの合成は自然同型を介してのみ結合的かつ単位的であることを確立する。
• 2-圏の整合性定理を適用し、Span(T)においてのどきん恒等式が成り立つことを確認することで、2-圏が必要な整合性則を満たすことを検証する。
• 積構造を用いてSpan(T)における双対性を構成し、整合性を満たすジグザグ同型を確認することで、弱双対の役割を裏付ける。
• 主結果を適用し、対象の自己双対性と双対性を用いて、Cospan(ResNet)とCircのコンパクト閉性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレイモノイドを介する間接的構成に依存せずに、コンパクト閉2-圏をどのように直接定義できるか？
• RQ2 対称モノイド2-圏における弱双対が、自然同型を介してジグザグ恒等式を満たすために必要な整合性則は何か？
• RQ3 圏Tにおけるスパンの2-圏がコンパクト閉であるための条件は何か？
• RQ4 スパンの集合や抵抗ネットワーク2-圏のコンパクト閉性は、一般定理から導けるか？
• RQ5 弱プルバックは、スパン2-圏における合成と双対性の整合性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 有限積と弱プルバックを備えた圏Tにおけるスパンの2-圏Span(T)は、のどきん整合性則を用いてコンパクト閉であることが証明された。
• この結果により、スパンの集合の2-圏がコンパクト閉であることが従い、既知の広く知られた結果を形式的証明で拡張した。
• 抵抗ネットワークの余スパンの2-圏Cospan(ResNet)は、双対性のため、元の圏におけるスパンと余スパンの双対性によりコンパクト閉である。
• エッジを含まない抵抗ネットワークの部分圏Circは、すべての対象が自己双対であるため、コンパクト閉である。
• 証明は、のどきん整合性則における合成同型が、Tにおける三角法則のおかげで恒等写像に簡約されることに依存している。
• この構成は、グレイモノイドを介する間接的定義の曖昧さを解消する直接的かつ自己完結的なコンパクト閉2-圏の定義を提供する。